300. Декартовы координаты в пространстве.
Предположим, для простого примера, что 
обозначают декартовы координаты:
и примем для простоты массу материальной точки, равной единице. Тогда
и если допустить, что существует силовая функция 
, то функция Гамильтона будет
Необходимо выразить эту функцию через переменные 
и вспомогательные переменные 
определяемые формулами
так чтобы функция Гамильтона приняла вид
Вследствие этого канонические уравнения будут
Исключение переменных 
из этих уравнений приведет, очевидно, к обычным уравнениям движения.
Посмотрим, что дает в этом случае метод Якоби. Этот метод состоит в том, что нужно найти для дифференциального уравнения
полный интеграл, т. е. интеграл, содержащий три не аддитивные постоянные. Так как время не входит явно в это уравнение, то можно положить
где 
— постоянная, и достаточно, чтобы функция 
удовлетворяла соотношению
Если для этого уравнения с тремя переменными будет найден полный интеграл
содержащий две новые постоянные а и 
из которых ни одна не является аддитивной, то теорема Якоби показывает, что конечные уравнения движения будут
Два первых уравнения представляют траекторию, а последнее определяет время, затрачиваемое движущейся точкой для прихода в какое-нибудь положение на ее траектории. Кроме того, для 
получаем значения
и так как 
равны здесь х, у, z, а V равно — 
, то имеем
Эти формулы определяют проекции скорости точки, выраженные в функции ее координат через частные производные одной функции 
Так как эта функция удовлетворяет уравнению 
то
что представляет собой не что иное, как интеграл кинетической энергии. Следовательно, 
, как мы уже видели, является постоянной интеграла кинетической энергии.
Мы можем, между прочим, легко проверить геометрическое свойство траекторий. Дадим постоянным 
какие-нибудь определенные значения. Написанные выше выражения для 
через частные производные функции 
показывают, что в каждой точке 
скорость нормальна к той из поверхностей 
которая проходит через эту точку. Но скорость касается той из траекторий
которая получается, если 
и 
подобраны так, чтобы эта траектория проходила через рассматриваемое положение движущейся точки. Следовательно, все траектории, получающиеся при изменении а и 
нормальны к поверхностям 
Это и является геометрическим свойством траекторий, установленным выше в общей системе координат 
