127. Графические приложения теории веревочных многоугольников.

Геометрические и механические свойства веревочных многоугольников послужили поводом к возникновению новых теорий, начало которым было положено в заметке Понселе и которые были впоследствии подробно разработаны в руководствах графической статики Кульмана, Кремоны, Мориса Леви, Руше. Можно указать также на элементарную книгу Зейрига в серии - Aide-Mdmoire Леоте и на книгу П. Монтеля «Статика и сопротивление материалов» (Gauthier-Villars, 125). Мы ограничимся здесь рассмотрением некоторых примеров.

1°. Графическое определение равнодействующей нескольких сил, лежащих в одной плоскости. Пусть в плоскости задано произвольное число сил, например, заданы четыре силы имеющие равнодействующую, не равную нулю. Построим многоугольник этих сил, проведя через некоторую точку вектор равный и параллельный силе через точку — вектор равный и параллельный силе наконец, через точку — вектор равный и параллельный силе и перенумеруем стороны этого многоугольника, обозначая буквой сторону, равную и параллельную силе Равнодействующая сил равна и параллельна стороне имеющей номер 5. Возьмем в плоскости точку А и соединим ее с вершинами многоугольника сил. Обозначим через диагональ, соединяющую точку А с точкой пересечения сторон и . Мы получим таким образом многоугольник Вариньона. Построим соответствующий веревочный многоугольник. Для этого проведем произвольную прямую параллельную диагонали , и обозначим через точку, в которой она пересекает направление силы Через проведем прямую (рис. 84), параллельную диагонали и обозначим через точку ее пересечения с направлением силы и т. д. через точку проведем параллельно . Эта последняя

прямая пересечет первую в точке через которую проходит равнодействующая. В самом деле, если мы заменим прямые нитями или жесткими стержнями, перенесем силы в точки на их линиях действие и приложим к крайним нитям натяжения, равные диагоналям и многоугольника Вариньона, то получим веревочный многоугольник, находящийся в равновесии. Согласно принципу затвердевания (п. 120) существует равновесие между крайними натяжениями, направленными по сторонам и силами приложенными в вершинах. Равнодействующая этих последних сил будет, следовательно, равна и прямо противоположна равнодействующей двух крайних натяжений и будет проходить через точку пересечения сторон Таким образом, равнодействующая будет найдена, так как она по величине и направлению определяется вектором

Рис. 84.

Если изменять положение первой стороны перемещая ее параллельно самой себе, то веревочный многоугольник будет менять свою форму, а точка будет перемещаться по линии действия равнодействующей сил

Рис. 85.

Сумма моментов сил относительно произвольной точка О плоскости. Сумма моментов сил относительно точки О равна моменту равнодействующей т. е. равна где - расстояние от точки О до силы Проведем через точку О (рис. 85) линию параллельную линии действия равнодействующей, и пусть Р и — точки пересечения этой прямой с крайними звеньями Треугольники и имея параллельные стороны, подобны. Построим высоты и этих треугольников. Так как то получим

Точка А выбрана произвольно и поэтому можно принять Тогда момент будет измеряться отрезком

Теорема. Точка А выбрана произвольно. Выбирая для этой точки, другое положение А, мы придем при помощи указанных выше построений к другому веревочному многоугольнику крайние

звенья которого также пересекаются на линии действия равнодействующей (рис. 8-4).

Более того, справедлива следующая теорема:

Точки пересечения соответствующих сторон и мкм первого и второго веревочных многоугольников лежат на прямой параллельной (рис. 84).

В самом деле, допустим, что первый веревочный многоугольник разрезан в точке В какой-нибудь стороны, например, стороны Часть этого многоугольника находится в равновесии под действием сил и натяжений крайних сторон и Следовательно, натяжения имеют равнодействующую, равную и противоположную равнодействующей сил Применяя те же рассуждения к части второго многоугольника, который мы предполагаем разрезанным в точке В стороны мы найдем, что натяжения крайних сторон которые мы обозначим через имеют равнодействующую, равную и противоположную равнодействующей сил Таким образом, натяжения имеют равнодействующую, равную равнодействующей натяжений также сказать, меняя направления двух последних натяжений, что совокупность четырех векторов эквивалентна нулю. Равнодействующая двух натяжений проходящая через точку пересечения сторон равна и прямо противоположна равнодействующей двух натяжений проходящей через точку пересечения сторон и Следовательно, точка пересечения сторон и находится на фиксированной прямой То же самое будет справедливо для точки пересечения двух любых соответствующих сторон обоих многоугольников. Эта фиксированная прямая параллельна так как натяжение равно и параллельно и направлено в сторону а натяжение равно и параллельно и направлено в сторону следовательно, равнодействующая этих двух натяжений равна и параллельна равнодействующей сил т. е. силе

2°. Построение замкнутого веревочного многоугольника, соответствующего системе лежащих в плоскости уравновешивающихся сил. В плоскости дана система сил (рис. 84), находящихся в равновесии, т. е. таких, главный вектор и главный момент которых равны нулю. Построим многоугольник сил Это будет замкнутый многоугольник со сторонами 1, 2, 3, 4, 5, соответственно параллельными силам Возьмем далее в плоскости произвольную точку А.

Этой точке можно поставить в соответствие замкнутый веревочный многоугольник следующим образом.

Соединим эту точку с различными вершинами многоугольника сил и пусть — прямая, соединяющая точку А с точкой пересечения сторон и Таким путем получится шесть прямых . Построим затем замкнутый многоугольник вершины которого лежат, соответственно на осях векторов а стороны параллельны сторонам . На основании случая, рассмотренного раньше, можно произвольно выбрать положение стороны или последующие стороны будут тогда определенными и точка пересечения сторон и будет находиться на линии равнодействующей сил т. е. на

линии силы которая равна и прямо противоположна этой равнодействующей. Построенный многоугольник будет, следовательно, замкнутым.

Построенный таким образом многоугольник называется веревочным многоугольником, соответствующим точке А. Если предположить, что точки заменены материальными точками, а стороны — нерастяжимыми нитями, и перенести все силы в точки то получится находящийся в равновесии замкнутый веревочный многоугольник, в котором натяжение стороны равно и параллельно отрезку Может случиться, что некоторые из сторон подвержены сжатию; тогда необходимо заменить их твердыми стержнями. Это имеет место на рис. 84 для сторон .

Если взять другую точку А, то ей будет соответствовать другой веревочный многоугольник Соответствующие стороны этих многоугольников, как было показано, пересекаются на прямой параллельной

Если бы силы вместо того, чтобы находиться в равновесии, приводились к паре, то это обнаружилось бы при построении, так как не пересекались бы на линии силы и равнодействующая сил лежала бы на прямой, параллельной силе но не совпадающей с ней.

3°. Частный случай. Пример взаимных фигур. Допустим, что силы находящиеся в равновесии, пересекаются в одной точке О (рис. 86). Веревочный многоугольник построенный указанными выше приемами, и многоугольник Вариньона будут тогда взаимными. Под этим надо понимать следующее. В веревочном многоугольнике натяжения сторон соответственно равны и параллельны диагоналям многоугольника Вариньона. Приложим в вершинах многоугольника Вариньона вдоль каждой из этих диагоналей силы равные и параллельные соответствующим сторонам веревочного многоугольника, и заменим стороны нитями. Построенный таким образом новый веревочный многоугольник будет в равновесии, и натяжения сторон будут равны и параллельны диагоналям первоначального веревочного многоугольника, который, таким образом, является многоугольником Вариньона для нового многоугольника. Короче говоря, каждый из двух веревочных многоугольников является многоугольником Вариньона для другого.

Рис. 86.