IV. Движение в пространстве

306. Движение планеты в сферических координатах по Якоби

(«Vorlcsungen», лекция 24). Примем за плоскость плоскость эклиптики, за ось х — прямую, соединяющую Солнце с точкой весеннего равноденствия, и определим положение планеты ее сферическими координатами где долгота планеты, ее широта (рис. 177а). Оси ориентированы, как в астрономии. Переменные играют роль параметров

Рис. 177а.

Для силовой функции имеем причем масса планеты принята равной единице. Из выражения в сферических координатах непосредственно имеем

Далее

Подставляя найденные отсюда значения в Т, получим

Следовательно, уравнение с частными производными для будет

Для данного частного вида уравнения (1) можно найти полный интеграл в виде

где являются соответственно функциями переменных

Для того чтобы удовлетворяло уравнению (1), необходимо, чтобы было

Это уравнение после выделения членов с можно написать таким образом:

Левая часть зависит только от а правая только от следовательно, это равенство возможно лишь в том случае, когда каждая часть в отдельности равна одной и той же постоянной величине так как в уравнении (1) переменные независимы. Следовательно, имеем

и

или

Повторяя те же рассуждения, что и выше, мы увидим, что обе части последнего равенства должны в отдельности равняться одной постоянной вследствие чего

и

Таким образом, полный интеграл уравнения (1) есть

и конечные уравнения движения имеют вид

т. е.

Два первых уравнения, не содержащих определяют траекторию. Чтобы дополнить решеяие, укажем на смысл входящих в эти формулы постоянных.

Мы знаем, что для планеты орбита является эллиптической; наибольший и наименьший радиусы-векторы, соответствующие афелию и перигелию, равны с другой стороны, уравнение показывает, что

Следовательно, корни подкоренного выражения должны соответствовать максимуму и минимуму радиуса-вектора; поэтому эти корни равны и на основании зависимости между корнями и коэффициентами получаем

Найдем теперь смысл величины Для того чтобы из уравнения (II) можно было получить вещественное значение для когда задана функция необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

и для каждого значения удовлетворяющего этому условию, соответствующее значение определяемое из уравнения (I), должно быть обязательно вещественным, так как орбита является вещественным эллипсом. Поэтому имеет верхний предел и может этого предела достигать. Но, очевидно, что наибольшим значением угла является угол I между плоскостью орбиты и плоскостью эклиптики, и мы должны иметь

Нам нужно теперь установить нижние пределы интегралов. Мы примем для этих пределов , что соответствует перигелию, и что соответствует узлу Тогда уравнение (III) показывает, что есть время прохождения через перигелий, а уравнение что есть долгота узла.

Для вычисления С допустим, что планета находится в перигелии. Тогда уравнение (I) обратится в следующее:

где — широта перигелия. Принимая во внимание соотношение мы можем написать

или, интегрируя,

Пусть и Р (рис. 1776) являются точками пересечения радиусов-векторов восходящего узла и перигелия со сферой радиуса 1, имеющей центр в точке широта перигелия. В треугольнике имеем

что показывает, что С равно т. е. углу между радиусами-векторами перигелия и восходящего узла.