307. Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния.

Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратурам Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе.

Рис. 177б.

Эллиптические квадратуры, встречающиеся в интегралах, дали Лежандру важный пример для приложения его теории эллиптических интегралов.

Этому же вопросу посвящены диссертации Серре, Дебова и Андраде (во Франции) и работа Кёнигсбергера (в Германии), озаглавленная «:De motu puncti versus duo centra attracti > (Берлин, 1860) и содержащая приведение эллиптических интегралов к функциям .

Примем за ось (рис. 178) прямую, соединяющую оба притягивающих центра за начало координат — точку, лежащую посредине между ними, и обозначим через расстояние Пусть — две другие неподвижные оси, образующие с осью прямоугольный триедр. Для определения положения в пространстве движущейся точки М введем сначала угол который образует плоскость проведенная через движущуюся точку и ось с плоскостью этот угол измеряется углом между осью и следом плоскости на плоскости

Рис. 178.

Определив таким образом плоскость мы обозначим для фиксирования положения движущейся точки на этой плоскости через х и у ее декартовы координаты и относительно осей и через ее эллиптические координаты в той же плоскости, определенные системой софокусных конических сечений с фокусами (п. 287). Координаты точки М относительно неподвижных осей суть и мы имеем

Отсюда для квадрата линейного элемента получаем

Если мы теперь воспользуемся для определения положения точки в плоскости эллиптическими координатами являющимися корнями уравнения

то по установленным ранее формулам (п. 287)

имеем:

Следовательно, в рассматриваемой системе координат квадрат линейного элемента равен

где должны быть заменены их выражениями через написанными выше.

Примем массу точки за единицу. Тогда кинетическая энергия будет

где играют роль параметров Если через обозначить расстояние от движущейся точки до обоих фокусов, то алгебраические значения сил притяжения со стороны этих фокусов равны , а сумма их элементарных работ есть полный дифференциал силовой функции

Но так как квадрат большой полуоси эллипса, проходящего через точку М, равен то сумма расстояний от точки М до обоих фокусов будет

Точно так же квадрат поперечной полуоси гиперболы, проходящей через точку М, равен и мы имеем

откуда

После приведения к общему знаменателю, получим

где для краткости положено

так что зависит только от — только от что весьма

существенно для дальнейшего. Вспомогательные переменные равны здесь частным производным от Т по

Разрешая эти уравнения относительно и в и подставляя затем в функцию Гамильтона получим

Заменяя их значениями в функции и замечая, что можно написать

мы представим окончательно функцию Н в виде

Теперь легко написать уравнение Якоби; мы напишем сразу уравнение для получающееся, как и раньше (стр. 481), путем подстановки

Можно найти полный интеграл вида

где зависит только от — только от Действительно, подставляя в предыдущее равенство это выражение и освобождаясь от знаменателей, мы получим для определения уравнение, которое можно написать в виде

где правая часть зависит только от а левая часть — только от Так как в уравнении с частными производными параметры и являются независимыми переменными, то единственный способ, которым можно удовлетворить этому последнему соотношению, не устанавливая зависимости между заключается в приравнивании каждой части в отдельности одной и той же постоянной Разрешим после этого полученные таким образом уравнения относительно Тогда, полагая

мы получим

Эти выражения определяют в квадратурах и для искомого полного интеграла получается выражение

с тремя произвольными постоянными из которых ни одна не является аддитивной. Для получения траекторий нужно теперь приравнять постоянным а и частные производные от по :

Второе из этих уравнений, устанавливающее соотношение между и до. представляет относительную траекторию в движущейся плоскости первое уравнение определяет угол вращения этой плоскости. Чтобы получить время, приравняем частную производную от по разности

Таким образом, задача приведена к квадратурам. Эти квадратуры являются эллиптическими, как в этом можно убедиться, полагая так чтобы и стали рациональными относительно

Что касается выражений для вспомогательных переменных то для их нахождения нужно взять частные производные от по

Последняя формула выясняет смысл постоянной а. В самом деле, из уравнения, определяющего мы имели (стр. 874). Следовательно, интеграл дает

что выражает возможность применения закона площадей к проекции движения на плоскость так как у и в являются полярными координатами проекции движущейся точки на эту плоскость. Это обстоятельство можно было предвидеть заранее, так как силы, действующие на точку, пересекают ось

В частном случае, когда начальная скорость точки пересекает ось траектория будет, очевидно, находиться в плоскости определяемой начальным положением точки и обоими притягивающими центрами. В этом можно убедиться и из уравнений. В самом деле, постоянная а будет в этом случае равна нулю и первое из уравнений траектории обратится в следующее:

Это показывает, что плоскость останется неподвижной. Второе из уравнений определит траекторию в эклиптических координатах.

Интегрирование уравнения Эйлера. Допустим, что не только но и Тогда плоскость будет неподвижной, траектория будет плоской и так как сил нет, то эта траектория будет прямой линией на плоскости При этих предположениях второе из уравнений после замены их выражениями примет вид

Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйлером и выражающий, что уравнение допускает алгебраический интеграл. На этом результате основывается сложение эллиптических функций.

Примечание. Таким же путем можно привести к квадратурам задачу о движении точки, находящейся под действием сил, которые в примененных нами координатах имеют силовую функцию вида

где — произвольная функция только переменного — функция только переменного Например, эта форма силовой функции сохранится, если к предыдущим силам (притяжениям к неподвижным центрам по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния) присоединить силу притяжения к точке О, пропорциональную расстоянию, силу притяжения, перпендикулярную к плоскости и обратно пропорциональную кубу расстояния х, и силу притяжения, перпендикулярную оси и обратно пропорциональную кубу расстояния у.

Отметим, в заключение, работу Вельде «Ueber einen Specialfall der Be-wegung eines Punktes welcher von zwei festen Centren angezogen wird» (Берлин, изд-во Гартнера, 1889) (Bulletin des Sciences mathematiques, 1890 стр. 125). Вельде рассматривает задачу плоского движения в предположении что силы притяжения к фокусам равны соответственно и что движущаяся точка притягивается центром О пропорционально расстоянию.