Главная > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

307. Движение точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами, обратно пропорционально квадрату расстояния.

Задача движения точки, притягиваемой двумя неподвижными центрами с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния, была впервые приведена к квадратурам Эйлером для случая плоского движения. Лагранж дал общее решение, которое Якоби связал с методами интегрирования, излагаемыми в этой главе.

Рис. 177б.

Эллиптические квадратуры, встречающиеся в интегралах, дали Лежандру важный пример для приложения его теории эллиптических интегралов.

Этому же вопросу посвящены диссертации Серре, Дебова и Андраде (во Франции) и работа Кёнигсбергера (в Германии), озаглавленная «:De motu puncti versus duo centra attracti > (Берлин, 1860) и содержащая приведение эллиптических интегралов к функциям .

Примем за ось (рис. 178) прямую, соединяющую оба притягивающих центра за начало координат — точку, лежащую посредине между ними, и обозначим через расстояние Пусть — две другие неподвижные оси, образующие с осью прямоугольный триедр. Для определения положения в пространстве движущейся точки М введем сначала угол который образует плоскость проведенная через движущуюся точку и ось с плоскостью этот угол измеряется углом между осью и следом плоскости на плоскости

Рис. 178.

Определив таким образом плоскость мы обозначим для фиксирования положения движущейся точки на этой плоскости через х и у ее декартовы координаты и относительно осей и через ее эллиптические координаты в той же плоскости, определенные системой софокусных конических сечений с фокусами (п. 287). Координаты точки М относительно неподвижных осей суть и мы имеем

Отсюда для квадрата линейного элемента получаем

Если мы теперь воспользуемся для определения положения точки в плоскости эллиптическими координатами являющимися корнями уравнения

то по установленным ранее формулам (п. 287)

имеем:

Следовательно, в рассматриваемой системе координат квадрат линейного элемента равен

где должны быть заменены их выражениями через написанными выше.

Примем массу точки за единицу. Тогда кинетическая энергия будет

где играют роль параметров Если через обозначить расстояние от движущейся точки до обоих фокусов, то алгебраические значения сил притяжения со стороны этих фокусов равны , а сумма их элементарных работ есть полный дифференциал силовой функции

Но так как квадрат большой полуоси эллипса, проходящего через точку М, равен то сумма расстояний от точки М до обоих фокусов будет

Точно так же квадрат поперечной полуоси гиперболы, проходящей через точку М, равен и мы имеем

откуда

После приведения к общему знаменателю, получим

где для краткости положено

так что зависит только от — только от что весьма

существенно для дальнейшего. Вспомогательные переменные равны здесь частным производным от Т по

Разрешая эти уравнения относительно и в и подставляя затем в функцию Гамильтона получим

Заменяя их значениями в функции и замечая, что можно написать

мы представим окончательно функцию Н в виде

Теперь легко написать уравнение Якоби; мы напишем сразу уравнение для получающееся, как и раньше (стр. 481), путем подстановки

Можно найти полный интеграл вида

где зависит только от — только от Действительно, подставляя в предыдущее равенство это выражение и освобождаясь от знаменателей, мы получим для определения уравнение, которое можно написать в виде

где правая часть зависит только от а левая часть — только от Так как в уравнении с частными производными параметры и являются независимыми переменными, то единственный способ, которым можно удовлетворить этому последнему соотношению, не устанавливая зависимости между заключается в приравнивании каждой части в отдельности одной и той же постоянной Разрешим после этого полученные таким образом уравнения относительно Тогда, полагая

мы получим

Эти выражения определяют в квадратурах и для искомого полного интеграла получается выражение

с тремя произвольными постоянными из которых ни одна не является аддитивной. Для получения траекторий нужно теперь приравнять постоянным а и частные производные от по :

Второе из этих уравнений, устанавливающее соотношение между и до. представляет относительную траекторию в движущейся плоскости первое уравнение определяет угол вращения этой плоскости. Чтобы получить время, приравняем частную производную от по разности

Таким образом, задача приведена к квадратурам. Эти квадратуры являются эллиптическими, как в этом можно убедиться, полагая так чтобы и стали рациональными относительно

Что касается выражений для вспомогательных переменных то для их нахождения нужно взять частные производные от по

Последняя формула выясняет смысл постоянной а. В самом деле, из уравнения, определяющего мы имели (стр. 874). Следовательно, интеграл дает

что выражает возможность применения закона площадей к проекции движения на плоскость так как у и в являются полярными координатами проекции движущейся точки на эту плоскость. Это обстоятельство можно было предвидеть заранее, так как силы, действующие на точку, пересекают ось

В частном случае, когда начальная скорость точки пересекает ось траектория будет, очевидно, находиться в плоскости определяемой начальным положением точки и обоими притягивающими центрами. В этом можно убедиться и из уравнений. В самом деле, постоянная а будет в этом случае равна нулю и первое из уравнений траектории обратится в следующее:

Это показывает, что плоскость останется неподвижной. Второе из уравнений определит траекторию в эклиптических координатах.

Интегрирование уравнения Эйлера. Допустим, что не только но и Тогда плоскость будет неподвижной, траектория будет плоской и так как сил нет, то эта траектория будет прямой линией на плоскости При этих предположениях второе из уравнений после замены их выражениями примет вид

Следовательно, это уравнение представляет прямую, и оно может быть отождествлено с уравнением прямой линии в эллиптических координатах, которое будет, очевидно, алгебраическим относительно Таким путем мы воспроизвели, следуя Лагранжу, очень важный результат, данный Эйлером и выражающий, что уравнение допускает алгебраический интеграл. На этом результате основывается сложение эллиптических функций.

Примечание. Таким же путем можно привести к квадратурам задачу о движении точки, находящейся под действием сил, которые в примененных нами координатах имеют силовую функцию вида

где — произвольная функция только переменного — функция только переменного Например, эта форма силовой функции сохранится, если к предыдущим силам (притяжениям к неподвижным центрам по закону обратной пропорциональности квадрату расстояния) присоединить силу притяжения к точке О, пропорциональную расстоянию, силу притяжения, перпендикулярную к плоскости и обратно пропорциональную кубу расстояния х, и силу притяжения, перпендикулярную оси и обратно пропорциональную кубу расстояния у.

Отметим, в заключение, работу Вельде «Ueber einen Specialfall der Be-wegung eines Punktes welcher von zwei festen Centren angezogen wird» (Берлин, изд-во Гартнера, 1889) (Bulletin des Sciences mathematiques, 1890 стр. 125). Вельде рассматривает задачу плоского движения в предположении что силы притяжения к фокусам равны соответственно и что движущаяся точка притягивается центром О пропорционально расстоянию.

1
Оглавление
email@scask.ru