II. Свободные векторы. Три координаты свободного вектора

3. Три координаты свободного вектора.

Возьмем три оси (рис. 1) и обозначим через алгебраические значения проекций вектора на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости, проходящей через

две другие оси. Так как два геометрически равных вектора имеют, очевидно, одинаковые проекции и два вектора, имеющие одинаковые проекции, геометрически равны, то свободный вектор характеризуется тремя числами которые являются его координатами.

Два вектора с проекциями геометрически равны, когда

равны и противоположны, когда

параллельны, когда их проекции пропорциональны:

Случай прямоугольных осей. Направляющие косинусы вектора. Допустим, что оси координат являются прямоугольными, и обозначим через косинусы углов, которые образует с этими осями вектор имеющий модуль Проектируя вектор на эти оси, получим

и, кроме того,

Скалярное произведение двух векторов; угол между ними. Рассмотрим два вектора и Их скалярным произведением (согласно мемуару Грассмана, Геометрический анализ, 1846) называется число

получаемое умножением произведения модулей этих векторов на косинус угла между ними. В этом произведении первые два множителя положительны; третий множитель положителен, отрицателен или равен нулю в зависимости от того, будет ли угол между обоими векторами острым, тупым или прямым.

Предполагая снова оси прямоугольными, обозначим через проекции обоих векторов на эти оси, а через — их направляющие косинусы. Имеем

откуда, заменяла найденными из формул (2) значениями получим формулу

являющуюся аналитическим выражением скалярного произведения двух векторов и позволяющую определить косинус угла между ними.

Условие перпендикулярности двух векторов. Для того чтобы два вектора были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между ними равнялся нулю. Таким образом, в прямоугольных осях получаем условие

Скалярное произведение двух векторов мы будем обозначать символом

Другие названия и обозначения. Дж.-В. Гиббс (Vector Analysis, New York et Londres, 1902) употребляет для определения скалярного произведения название прямое произведение двух векторов; О. Хэвисайд (Electromagnetic Theory) — название скалярное произведение и М. Карвалло — алгебраическое произведение. Были предложены и различные обозначения: наиболее простым обозначением скалярного произведения является запись в виде Имеем . Проекция вектора на ось есть скалярное произведение этого вектора на вектор, численно равный и имеющий данную ось своей линией действия.

4. Геометрическая сумма произвольного числа свободных векторов.

Пусть заданы векторы (рис. 3) . Возьмем произвольную точку А за исходную и построим последовательно систему векторов, геометрически равных заданным векторам, а именно: сначала построим вектор равный в конце его — вектор равный затем вектор равный , наконец, вектор равный Вектор замыкает полученный таким образом многоугольник. Он называется геометрической суммой заданных векторов, а заданные векторы составляющими.

Рис. 3.

Легко убедиться, что геометрическая сумма не зависит от порядка, в котором берутся составляющие векторы.

Для обозначения того, что вектор является геометрической суммой векторов мы будем писать:

Проекции геометрической суммы векторов. Пусть — проекции векторов — проекции их геометрической суммы . Согласно теореме о проекциях, проекция вектора на произвольную

ось равна сумме проекций сторон многоугольника т. е. сумме проекций составляющих векторов. Таким образом, имеем

Равенство векторной суммы нулю. Если точка совпадает с точкой А, то сумма равна нулю. Для того чтобы это имело место, необходимо и достаточно, чтобы X, Y, Z равнялись нулю.

Примечание. Пусть Р — произвольный вектор. Если

то, взяв скалярные произведения, получим:

Это равенство непосредственно вытекает также из того, что проекция вектора на вектор Р равна сумме проекций векторов на вектор Р.

5. Геометрическая разность.

Геометрическая разность векторов (рис. 4) есть вектор сумма которого с вектором равна вектору Проведем из некоторой точки А два вектора и геометрически равных заданным векторам Тогда вектор Геометрически равный вектору и будет искомым, так как

Мы будем писать

Рис. 4.

Проекции геометрической разности векторов. Пусть X, Y, Z — проекции геометрической разности двух векторов проекции которых равны соответственно Очевидно, имеем:

Рис. 5.

6. Положительное направление вращения вокруг оси.

Пусть — некоторая ось, на которой произвольным образом выбрано положительное направление, например, от к (рис. 5). Мы будем говорить, что точка М, движущаяся по произвольной пространственной кривой С, вращается вокруг оси в положительном направлении, если для наблюдателя, смотрящего по направлению от к точка движется справа налево. В противном случае точка вращается в отрицательном направлении.

Рассмотрим, например, два вектора (рис. 9). Допустим, что точка, перемещающаяся по направлению поворачивается вокруг вектора принятого в качестве оси, в каком-нибудь направлении. Тогда из рисунка видно, что и, наоборот, точка, перемещающаяся вдоль вращается вокруг в том же направлении.

Ориентация координатного триэдра. Мы будем предполагать, что координатный триэдр ориентирован таким образом, что поворот на 90° в положительном направлении вокруг оси переводит ось в ось (рис. 1).

Примечание. При другом выборе положительного направления для сохранения формул необходимо изменить ориентацию осей, придерживаясь указанного правила.

7. Векторное произведение двух векторов.

Проведем из какой-нибудь точки А векторы и геометрически равные двум заданным свободным векторам и построим на них параллелограмм (рис. 6). Проведем далее из точки А вектор перпендикулярный плоскости этого параллелограмма и содержащий столько единиц длины, сколько единиц площади содержится в параллелограмме. Направление вектора выберем таким образом, чтобы точка, пробегающая контур вращалась вокруг в положительном направлении. Этот вектор или О называется векторным, или внешним произведением векторов что записывается следующим образом:

Рис. 6.

Грассман называет вектор О дополнением цикла определенного векторами

Векторное произведение на есть вектор или противоположный вектору О. Действительно, новое векторное произведение имеет ту же линию действия и тот же модуль, что и вектор О, но оно направлено в противоположную сторону, так как точка, описывающая контур должна вращаться вокруг в положительном направлении. Имеем:

и, следовательно,

Если совпадает с то векторное произведение обращается в нуль: