44. Вращение вокруг неподвижной оси. Угловая скорость. Геометрическое представление.

Когда тело вращается вокруг неподвижной оси (рис. 36), каждая его точка М описывает окружность, перпендикулярную к оси, с центром Р, лежащим на оси. Скорость точки М направлена, следовательно, нормально к плоскости в сторону вращения. Дуги, описываемые двумя различными точками за одно и то же время, пропорциональны их расстояниям до оси. Скорости этих точек относятся, следовательно, как их расстояния до оси.

Рис. 36.

Угловой скоростью называют величину, численно равную скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины. Если эту угловую скорость обозначить через , то величина V скорости точки будет равна где — расстояние от точки М до оси вращения. Когда вращение задается углом на который поворачивается тело от какого-нибудь начального положения, и этот угол выражен в функции то равно

Для определения скоростей в какой-нибудь момент при вращательном движении необходимо знать три элемента: ось вращения, угловую скорость и направление вращения. Эти три элемента могут быть представлены одним вектором следующим образом.

Возьмем на оси вращения произвольную точку А и отложим на ней отрезок длины направленный таким образом, что для наблюдателя, стоящего в точке А и смотрящего с конца отложенного отрезка, вращение происходит справо налево. Онределяемая таким образом геометрическая величина представляет вращение. Отождествляя вращательное движение с представляющим его вектором, часто говорят, что тело совершает вращение Ат. Так как начало вектора А может быть выбрано где угодно на оси, то, не изменяя вращения, можно перенести начало изображающего его вектора со в произвольную точку его линии.

Вращение представляется, следовательно, вектором, приложенным вдоль некоторой прямой. Этот вектор является аксиальным (п. 34).

Рис. 37.

Аналитические выражения проекций скорости точки тела.

Пусть Лео (рис. 37) — вращение с угловой скоростью — проекции последней на оси предполагаемые прямоугольными, наконец, — координаты точки А. Пусть М — точка тела с координатами ее скорость, — проекции этой скорости на оси. Последние величины нам и нужно определить.

С этой целью заметим, что скорость V точки М по величине и направлению совпадает с моментом вектора относительно точки М. В самом деле, эта скорость равна перпендикулярна плоскости и направлена таким образом, что точка, перемещающаяся от , двигается вокруг V в положительном направлении. Нам известны (п. 9) формулы проекций иомента относительно какой-нибудь точки (х, у, z). Прилагая эти формулы к рассматриваемому случаю и замечая, что момент берется относительно точки х, у, z, найдем:

Когда точка А совпадает с началом координат, эти выражения принимают вид