251. Движение тяжелой точки по кривой, расположенной в вертикальной плоскости, при действии трения и сопротивления среды.
Допустим, для определенности, что кривая обращена вогнутостью вверх и что точка движется в направлении, противоположном направлению 
принятому за положительное направление отсчета дуг (рис. 160).
Рис. 160.
Обозначим через а угол между горизонталью и касательной 
проведенной в сторону положительных дуг.
Силами, действующими на точку, будут вес 
нормальная реакция 
сила трения 
и сопротивление среды 
Последние две силы направлены в сторону, противоположную скорости, т. е. по касательной 
Естественными уравнениями будут:
Исключая 
из этих двух уравнений и заменяя производной 
получим уравнение
Вдоль кривой переменные 
являются известными функциями дуги 
Мы имеем, следовательно, дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее 
в функции 
После того, как эта функция будет найдена, величина 
выразится через 
при помощи квадратуры. Если сопротивление равно нулю или пропорционально квадрату скорости 
то уравнение будет линейным относительно 
и можно будет закончить вычисления.
Точка кривой, в которой 
а обращается в нуль, является предельным положением равновесия для движущейся точки, если принимать во внимание трение и считать при этом 
коэффициентом трения в момент начала движения (п. 190).
