84. Примеры.

1°. Сила, перпендикулярная неподвижной плоскости и являющаяся функцией расстояния от движущейся точки до этой плоскости, имеет силовую функцию. В самом деле, примем эту плоскость за плоскость (рис. 61, а). Тогда сила будет параллельна оси проекции X и будут равны нулю, будет функцией только Элементарная работа, равная или является полным дифференциалом функции Поэтому

Поверхностями уровня будут плоскости, параллельные плоскости Так, например, если сила есть вес точки М, то, направляя ось вертикально вверх, получим

2°. Сила, направленная по перпендикуляру, опущенному из точки М на неподвижную ось, и являющаяся функцией расстояния от точки до этой оси, имеет силовую функцию.

Примем эту ось за ось и обозначим через расстояние от точки М до оси и через Ф — значение силы, считая ее положительной в направлении (рис. 61, б). Проекции этой силы будут

Так как , следовательно, то для элементарной работы получаем выражение

По предположению, Ф забасит, только от и поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции равной

Поверхностями уровня являются цилиндры вращения вокруг оси

3°. Наконец, существует силовая функция и для силы, направление которой постоянно пересекает неподвижную точку О и которая зависит только от расстояния движущейся точки до О (рис. 61, в).

Рис. 61.

Примем точку О за начало и пусть — расстояние ОМ, а - величина силы, которую мы будем считать положительной в направлении Тогда проекции силы равны

и элементарная работа имеет вид

так как из соотношения после дифференцирования получим По предположению зависит только от поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции равной

Поверхностями уровня являются сферы с центром в точке О.

В частности, если точка притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то

где положительный коэффициент, так как сила, направленная в сторону отрицательна. Тогда

В этом примере полная работа силы, когда точка переходит из бесконечно удаленного положения в положение расположенное на расстоянии от притягивающего центра О, будет

Все три предыдущих закона сил являются частными случаями следующего. На точку М действует сила, направленная по нормали к некоторой неподвижной поверхности и величина силы есть функция длины этой нормали. Тогда существует силовая функция, зависящая только от и поверхности уровня параллельны поверхности Доказательство этого общего случая предлагается в качестве упражнения (упражнение 7).

4°. Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил указанных выше типов, то силовая функция по-прежнему существует. Это вытекает из следующей теоремы.

Если силы действуя на точку по отдельности, имеют силовые функции то при одновременном действии этих сил будет также существовать силовая функция, равная

В самом деле, пусть

— проекции первой силы,

— проекции второй. Проекции равнодействующей будут, очевидно,

что и доказывает высказанное предложение.