102. Примеры.

1°. Возьмем в плоскости произвольный многоугольник и приложим к середине каждой из его сторон силу, пропорциональную длине этой стороны, перпендикулярную к ней и направленную в сторону, внешнюю по отношению к многоугольнику. Эти силы находятся в равновесии. Докажем это предложение геометрически. Сделаем это сначала для треугольника, обозначив его через (рис. 68).

Три силы пересекаются в одной точке, как перпендикуляры в серединах сторон треугольника. Более того, сумма их проекций на произвольную ось равна, очевидно, нулю. Следовательно, эти силы находятся в равновесии.

Переходим теперь к случаю произвольного многоугольника. При помощи диагоналей, проведенных из одной вершины, разобьем его на треугольники. В середине каждой стороны полученного треугольника приложим силу, пропорциональную длине этой стороны, ей перпендикулярную и направленную

в сторону, внешнюю по отношению к соответствующему треугольнику, По доказанному, вся эта система сил находится в равновесии. Но в середине каждой диагонали приложены две равные и противоположно направленные силы; их можно, следовательно, отбросить, не нарушая равновесия, и тогда останутся лишь силы, приложенные к серединам сторон многоугольника. Предложение, таким образом, доказано.

Рис. 68.

Рис. 69.

2°. Дан плоский многоугольник (рис. 69, а), на котором избрано какое-нибудь направление обхода. Приложим в каждой вершине этого многоугольника силу, направленную по стороне, оканчивающейся в этой вершине, и пропорциональную длине этой стороны. Если многоугольник выпуклый, то эти силы приводятся к паре. В самом деле, сумма проекций этих сил на любую ось равна нулю, так как она равна -кратной величине проекции замкнутого многоугольника но сумма моментов относительно произвольной точки О плоскости многоугольника отлична от нуля. Действительно, эта сумма равна

т. е.

Таким образом, равновесия нет.

Если многоугольник вогнутый, то такого результата не получится. В самом деле, возьмем многоугольник сумма моментов относительно точки О плоскости (рис. 69, б) будет равна

Следовательно, равновесие получится только тогда, когда треугольники равновелики.