109. Тело с неподвижной точкой.

Рассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О, вокруг которой оно может свободно вращаться. Обозначим через действующие на тело силы. Такое тело может быть названо рычагом в наиболее общем смысле этого слова. Мы занимаемся, следовательно, условиями равновесия рычага.

Тело оказывает на неподвижную точку давление (рис. 71). По закону равенства действия и противодействия неподвижная точка действует на тело силой равной и противоположной силе так что тело может рассматриваться как свободное под действием сил Если тело находится в равновесии, то первые сил имеют равнодействующую, равную и прямо противоположную силе Следовательно, условия равновесия заключаются в том, что заданные силы должны иметь равнодействующую, проходящую через неподвижную точку. Это условие является достаточным, так как если заменить все приложенные к телу силы указанной равнодействующей, то она уравновесится сопротивлением неподвижной точки, со стороны которой будет действовать равная и прямо противоположная равнодействующей сила реакции.

Рис. 71.

Мы можем прийти к этому же результату и аналитически. В точке О выберем три прямоугольные оси координат; обозначим через X, Y, Z, L, М, N проекции главного вектора и главного момента относительно начала О системы сил приложенных к телу, а через X, Y, Z проекции реакции неподвижной точки. Условия равновесия будут:

Уравнения (2), не содержащие реакции, являются необходимыми условиями равновесия. Они выражают, что приложенные к телу силы приводятся к одной силе, проходящей через начало О. Уравнения (1) показывают тогда, что реакция (X, Y, Z) равна и противоположна этой равнодействующей (X, Y, Z), которая является не чем иным, как давлением на неподвижную точку.

Рассмотрим частный случай рычага, находящегося под действием только двух сил Для того, чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы эти силы уравновешивались реакцией точки О. Для того чтобы три силы находились в равновесии, необходимо, чтобы силы находились в одной плоскости с точкой О и чтобы сумма моментов сил относительно точки О равнялась нулю. Это — хорошо известное элементарное условие равновесия рычага.