III. Элементарные сведения из небесной механики

234. Задача n тел.

Мы только что видели, каким путем Ньютон пришел к закону всемирного тяготения. Теперь речь идет о том, чтобы, исходя из этого закона, объяснить движение небесных тел и, в частности, тел, образующих солнечную систему: Солнца, планет, их спутников и комет. При изучении относительных движений этих тел можно совершенно пренебречь действием звезд вследствие огромных расстояний до звезд по сравнению с размерами солнечной системы.

Двумя основными задачами небесной механики являются следующие: 1) найти движение центров тяжести небесных тел; 2) найти движения небесных тел вокруг, их центров тяжести.

Рис. 147.

Мы ограничимся здесь некоторыми указаниями о первой задаче. Рассмотрим группу, образованную планетой Р и ее спутниками (рис. 147). Движение центра тяжести этой группы будет таким, как если бы в нем были сосредоточены массы планеты и всех ее спутников и в него были бы перенесены параллельно самим себе все действующие на группу внешние силы. Пусть М — любая другая точка солнечной системы. Так как ее расстояние от различных точек группы очень велико по сравнению с размерами группы, то равнодействующая сил притяжений, действию которых подвергается точка М со стороны группы, будет почти такой, как если бы группа была заменена одной точкой той же массы, помещенной в доказывается в теории притяжения. Наоборот, притяжения, которые оказывает точка М на различные точки группы

будут силами, равными и противоположными предыдущим; если их перенести параллельно им самим в точку то они будут иметь равнодействующую равную и прямо противоположную силе F. Следовательно, действие группы на точку М и движение центра тяжести группы будут почти такими, как если бы вся масса группы была сосредоточена в ее центре тяжести.

Поэтому можно вначале рассматривать солнечную систему, как образованную ограниченным числом материальных точек, притягивающихся по закону Ньютона и помещенных: одна — в центре тяжести Солнца, другая — в центре тяжести Меркурия, третья — в центре тяжести Венеры, четвертая — в центре тяжести Земли и Луны, пятая — в центре тяжести Марса и его двух спутников и т. д.

Полагая число групп равным мы получим, написав уравнения движения центров тяжести, дифференциальных уравнений второго порядка, — по три для каждого центра тяжести. Эти уравнения, интегрирование которых составляет задачу тел, допускают семь известных первых интегралов, которые мы укажем как приложения общих теорем о движении системы. Современные средства анализа не допускают выполнения интегрирования этих уравнений. Тем не менее в небесной механике оказалось возможным при помощи этих уравнений вычислить с достаточной степенью точности движение, центров тяжести небесных тел благодаря тому, что массы всех тел солнечной системы очень малы по сравнению с массой Солнца. Так, масса Юпитера, наибольшая во всей системе, не составляет тысячной доли массы Солнца. Приведя число тел к трем, получим знаменитую задачу трех тел.