256. Приложение теорем Томсона и Тэта к брахистохронам.

В главе VII мы указали несколько интересных свойств кривых, обращающих в минимум интеграл вида

Эти свойства, если их, в частности, приложить к брахистохронам, получают простое выражение. Брахистохроны в случае сил, имеющих силовую функцию , получаются как кривые, обращающие в минимум интеграл

где имеет определенное значение. Если эта постоянная выбрана, то во всех рассматриваемых движениях начальное положение и величина начальной скорости связаны соотношением

Следовательно, интеграл (1) совпадает тождественно с интегралом (2), если принять

и значение интеграла I вдоль участка какой-нибудь кривой будет в точности равно времени которое понадобится точке массы единицы, чтобы переместиться по этой кривой под действием рассматриваемой силы и при указанных начальных условиях из А в В.

Брахистохроны будут тогда кривыми, которые раньше были названы кривыми (п. 146), зависящими от четырех произвольных постоянных. Например, если принять то брахистохроны будут циклоидами, лежащими в вертикальных плоскостях ниже плоскости и имеющими точки возврата на плоскости

Возвращаясь к общему случаю, мы можем основную формулу Тэта и Томсона выразить так:

Пусть — две бесконечно близкие брахистохроны, описываемые точкой массы 1, — первая за время а вторая за время тогда имеем (п. 147)

где и являются значениями функции на концах А и В.

Тогда из формулы Тэта и Томсона, полученной в п. 147, вытекают следующие результаты:

1°. Если заданы две неподвижные поверхности S и 2, то кривая, которую нужно провести между ними таким образом, чтобы движущаяся по ней при указанных начальных условиях точка описала ее за минимальное время, является брахистохроной, которая одновременно нормальна к обеим поверхностям. Теорема остается справедливой, если одна или обе эти поверхности заменяются кривой или точкой.

Например, если даны точка А и плоскость Р, то кривая, которую нужно провести от А до плоскости таким образом, чтобы пущенная по этой кривой из А без начальной скорости тяжелая точка достигла плоскости за кратчайший промежуток времени, является циклоидой с горизонтальным основанием, лежащей в вертикальной плоскости, имеющей в А точку возврата и пересекающей нормально плоскость Р.

2°. Если взять брахистохроны, нормальные к поверхности S и по каждой из них в момент пустить при указанных начальных условиях одинаковые материальные точки, то в любой момент времени все эти точки будут находиться на поверхности также нормальной к брахистохронам. (Эта теорема была указана уже Эйлером.)

Например, если взять все циклоиды, имеющие в точке А точку возврата и вертикальную касательную и по каждой из них в момент пустить из А без начальной скорости тяжелую точку, то в момент все эти точки будут находиться на поверхности нормальной ко всем циклоидам. В данном примере поверхность S сводится к точке А; поверхность S будет, очевидно, поверхностью вращения вокруг

Мы предлагаем в качестве упражнения проверить это утверждение.

3°. Наконец, формула Тэта и Томсона позволяет высказать для брахистохрон теоремы, аналогичные свойствам разверток, если заменить в классических формулировках длины дуг промежутками времени, которые затрачивает для их описания точка, скользящая по ним без трения. Мы не будем здесь останавливаться на этом вопросе, который мы предлагаем в качестве упражнения.