217. Движение тяжелой точки в пустоте.

За начало координат примем начальное положение точки, ось у направим вертикально вверх, а ось х — по горизонтали в плоскости траектории. Уравнения движения будут

Обозначая через а угол, образованный начальной скоростью с осью получим из первого уравнения

Второе уравнение также интегрируется сразу и мы получаем

Уравнения (1) и (1) определяют скорость:

Численное значение скорости в каждый момент времени получается таким, как если бы точка падала без начальной скорости из положения с ординатой Формула (3) непосредственно вытекает из теоремы кинетической энергии.

Исключая из равенств (2) и (2), получаем уравнение траектории

Это — парабола с вертикальной осью, обращенная вогнутостью вниз (рис. 139).

Если угол а отрицательный, то, как видно из равенства будет все время отрицательным. Следовательно, у будет монотонно убывать, и движущаяся точка никогда не пройдет через вершину параболы.

Допустим теперь, что . Тогда или, что то же, у, будет вначале положительным, и точка будет подниматься.

Рис. 139.

Она будет подниматься до тех пор, пока у не обратится в нуль, что произойдет по истечении промежутка времени определяемого уравнением

Так как при этом высота точки достигнет своего максимума, то ее скорость на основании равенства (3) будет иметь минимум. Координаты наивысшей точки параболы — ее вершины — будут

По истечении промежутка времени проекция у скорости станет отрицательной и движущаяся точка начнет опускаться. На одной и той же высоте, как при движении вверх, так и при движении вниз, точка будет иметь одинаковую по абсолютному значению скорость. В частности, она пройдет через точку А, находящуюся на одной высоте с точкой О, со скоростью Горизонтальное расстояние ОА равно удвоенной абсциссе вершины:

Чтобы при заданной начальной скорости расстояние ОА имело возможно большее значение, необходимо, чтобы имел максимум, т. е. чтобы

угол а был равен 45°. Допустим, что требуется попасть в точку В оси абсцисса которой меньше, чем Наклон стрельбы определится формулой

Отсюда видно, что имеются два решения, оба отличные от 45°. Следовательно, в точку В можно попасть по двум параболам. Легко убедиться, что по нижней параболе точка попадает в цель В за более короткий промежуток времени.

Можно определить геометрически положение параболы, соответствующей заданному углу а. Для этого заметим, что все параболы, которые получаются при изменении угла а, имеют общей директрисой прямую с ординатой . В самом деле, параметр параболы, описываемой движущейся точкой, равен и так как ордината вершины равна то уравнение директрисы будет

Следовательно, это — прямая находящаяся на высоте, которую достигнет движущаяся точка, если ее бросить вертикально вверх со скоростью

Этот результат становится наглядным, если исходить из уравнения кинетическои энергии. Так как то это уравнение показывает, что в мнимых точках пересечения траектории с прямой получается Следовательно, эта прямая является директрисой параболы.

Установив это, допустим, что дана касательная к траектории в начале координат. Тогда фокус будет находиться на такой прямой что прямая будет биссектрисой угла Кроме того, он будет находиться на окружности радиуса описанной из точки О, как из центра. Следовательно, он находится на пересечении этой окружности с прямой Построение показывает, что геометрическим местом фокусов парабол является окружность с центром в точке О радиуса

Поставим себе задачей найти угол, под которым нужно выпустить снаряд, чтобы попасть в заданную точку плоскости. Введя обозначение а — и и подставив в уравнение траектории координаты заданной точки так как траектория должна пройти через эту точку, получим для определения и уравнение второй степени

Условием вещественности корней является выражение

Для его геометрического истолкования рассмотрим параболу, имеющую уравнение

Эта парабола имеет параметр и вершину в точке т. е. в точке следовательно, ее фокус находится в начале координат. Условие вещественности (2) выражает, что точка должна быть внутри этой параболы («параболы безопасности») или на ней. Еслн точка находится внутри параболы безопасности, то уравнение для и имеет два различных вещественных корня и тогда в точку можно попасть двумя различными способами, выпуская снаряд под двумя различными углами (рис. 139). Если точка находится на параболе безопасности, то уравнение для и имеет двойной корень и тогда в точку можно попасть только одним способом. В случае, когда уравнение для и имеет два различных корня, имеются две траектории, проходящие через соответствующие двум значениям и угла а. Время, затрачиваемое на достижение точки по обеим траекториям, равно соответственно

Более короткое время соответствует меньшему из углов

Парабола безопасности является огибающей траекторий, получающихся при изменении угла а, т. е. величины и. В самом деле, для нахождения огибающей кривых, представляемых уравнением (1), в котором и — переменный параметр, достаточно выразить, что это уравнение, рассматриваемое как уравнение относительно и, допускает двойной корень. Но это как раз то, что мы делали для нахождения параболы безопасности.

Рис. 140.

Эти результаты могут быть также легко получены и геометрически (рис. 140). Пусть нужно построить параболу, проходящую через две точки и имеющую заданное направление. Ее фокус, как мы видели, находится на окружности радиуса с центром в точке О. Он должен также находиться на окружности с центром в точке через которую должна проходить парабола, и радиусом, равным перпендикуляру опущенному из точки на директрису Эти две окружности могут пересечься в двух точках: и . Следовательно, могут быть две параболы. Чтобы эти окружности пересекались, необходимо, чтобы расстояние между центрами было меньше суммы и больше разности радиусов. Последнее условие, очевидно, выполняется, так как есть разность радиусов. Следовательно, достаточно написать

Проведем прямую на расстоянии от оси х и продолжим до точки пересечения П с этой прямой. Тогда условие, которое должно выполняться, примет вид

Но геометрическое место точек, для которых является параболой с фокусом в начале координат и директрисой ; это и будет парабола безопасности. Если точка находится внутри этой параболы, то в нее можно попасть двумя способами; если она находится на параболе, то имеется только одна траектория, проходящая через эту точку. Для такой точки фокус траектории и фокус параболы безопасности лежат на одной прямой, с точкой Элементарное построение, определяющее касательную в точке показывает, что эта касательная является одной и той же для обеих парабол. Отсюда вытекает, что парабола безопасности является огибающей всех траекторий.