276. Движение тяжелой точки на поверхности врадцения, ось которой Oz вертикальна.
Интегрирование уравнений движения приводится к квадратурам. Прежде всего по теореме кинетической энергии имеем
где 
причем ось 
направлена вниз. Теорема площадей справедлива, и мы имеем
Если уравнение поверхности есть 
то
Исключая из этих трех уравнений время и скорость, получим
Переменные сразу разделяются и 6 выражается через 
при помощи квадратуры:
Точно так же интегрирование приводится к квадратурам всякий раз, когда движущаяся точка находится под действием силы, имеющей силовую функцию, зависящую только от 
Для алгебраической поверхности Кобб указал случаи, при которых задача приводится к эллиптическим функциям (Acta mathematica, т. X).
Интересное аналитическое исследование движения тяжелой точки на поверхности вращения можно найти в статье Отто Штауде (Acta mathematica, т. XI).
Примечание. Тяжелая точка, движущаяся по поверхности вращения, может описывать параллель поверхности лишь в том случае, когда вершина конуса нормалей вдоль этой параллели находится над ней.
В самом деле, уравнение поверхности имеет вид
Обращаясь к общим уравнениям движения на поверхности, имеем:
Для того чтобы траектория была параллелью 
необходимо, чтобы эти уравнения удовлетворялись при условии 
. С другой стороны, по теореме площадей 
где начальная скорость 
обязательно касается параллели; отсюда 
Поэтому обязательно должно быть
Эти два последних уравнения приводятся к следующему:
Следовательно, 
должно быть отрицательным. Если это условие выполнено, то вершина конуса нормалей находится над параллелью. Если точке, находящейся на параллели, сообщить скорость
то она будет двигаться по этой параллели.
Этот результат легко проверяется геометрически. Для этого достаточно выразить, что равнодействующая веса и нормальной реакции направлена к центру параллели и равна 
