279. Интегрирование в эллиптических функциях.

Полученные нами формулы могут быть преобразованы таким образом, чтобы переменные выражались однозначными функциями Этим мы сейчас и займемся. Мы нашли

Будем отсчитывать время от того момента, когда точка проходит через самое низкое положение Мы должны будем взять перед радикалом знак минус, вследствие чего получим:

Для приведения этого интеграла к канонической форме, положим

Так как изменяется между предельными значениями а и то и колеблется между 0 и 1. Из последнего равенства выводим

и, подставляя в значение для получим

где положено

Величина существенно положительна и меньше 1, так как а — наибольший из трех корней: Полагая, наконец,

имеем

т. е.

откуда

Таким образом, является двоякопериодической функцией переменного Один из периодов вещественный и равен

Заметим, что являются однозначными функциями времени. В самом деле,

Чтобы выразить х и у как функции времени, вспомним, что мы получили

Если теперь заменить здесь полученным для него ранее значением, то станет рациональной функцией от разложив ее на простые дроби по методу Эрмита, можно будет выполнить интегрирование так, как это указывается в теории эллиптических функций. Получающаяся таким путем функция не будет однозначной, но можно показать, что х и у получатся однозначными функциями времени Действительно, имеем

Можно доказать, что показательная функция не имеет критических точек, кроме как при значениях соответствующих значениям и что произведение

не имеет этих критических точек и будет однозначной функцией от Отсюда получится, что и вещественная часть х и мнимая часть у будут обе однозначными функциями от Этот метод принадлежит Тиссо (Journal de Liouville, 1852).

Эрмит дал прямое доказательство этого же самого свойства (Crelle, т. 85). Непосредственное отыскание функций х к у сводится к интегрированию дифференциального уравнения второго порядка, являющегося частным случаем уравнения Ляме, исследованного Эрмитом (Sur quelques applications des fonctions eiliptiques). Действительно, мы установили ранее, что если обозначает реакцию, то

я поэтому

Заменив в этой формуле найденным выше значением, мы получим

Это — линейное уравнение, частные интегралы которого определяют не только но и так как уравнение для у

будет таким же, как и уравнение для х. Если теперь положить то предыдущее уравнение примет вид

где обозначает постоянную. Это — уравнение Ляме

в котором