147. Формула Тэта и Томсона.

Проделанные нами вычисления, при несколько иной интерпретации, приводят к важной теореме Тэта и Томсона. Пусть С — дуга одной из кривых, удовлетворяющих уравнениям (3), имеющая концы А и В, и пусть — другая кривая, бесконечно близкая к первой и имеющая концы бесконечно близкие к А и В (рис. Как и выше, можно перейти от кривой С к кривой полагая

с той только разницей, что не обращаются больше а нуль на пределах но при имеют значения равные проекциям на оси координат отрезка а при значения равные проекциям отрезка Разность значений интеграла вдоль кривых С] и С по-прежнему определяется из формулы (2), в которой проинтегрированная часть, образующая первый член, не равна больше нулю, в то время как интеграл стоящий во втором члене, равен нулю, так как кривая С удовлетворяет, по предположению, уравнениям (3) и все элементы интеграла равны нулю.

Рис. 99.

Следовательно, пренебрегая а формуле (2) членом второго порядка малости имеем

Значения её, на пределах а и указаны выше; обозначим через значения функции у в точках А и В; заметим, наконец, что так как — суть направляющие косинусы касательной к кривой С, направленной в сторону возрастания дуги, т. е. от А к В, то значения указанных величин на обоих пределах равны направляющим косинусам двух касательных и на обоих концах. Следовательно, для получается выражение

которое имеет простую геометрическую интерпретацию. Величина

Представляет собою проекцию отрезка на касательную она равна точно так же вторая величина, содержащаяся в равна Окончательно,

или в более симметричной форме

так как угол АВВ является дополнительным к углу а угол ВАА равен углу

Формула (4) Тэта и Томсона совершенно аналогична хорошо известной элементарной формуле, выражающей изменение длины отрезка прямой, и получающейся из этой при (см. Бертран, Кдос дифференциального исчисления, стр. 22).

Следствия, которые получаются из формулы (4), тождественны с теми, которые выводятся из аналогичной формулы для прямых в теории разверток и в теории параллельных кривых и поверхностей. Мы укажем здесь те следствия, которые приводят к интересным результатам в теории брахистохрон, в. теории принципа наименьшего действия и в задаче рефракции. Мы предполагаем в последующем, что функция не обращается в нуль в рассматриваемой области пространства.

Рис. 100.

1°. Приложение. Даны две поверхности S и I. Какую кривую нужно провести от одной поверхности к другой, для того, чтобы интеграл взятый вдоль этой кривой, имел максимум или минимум? Пусть А и В (рис. 100) — две неизвестные точки, в которых искомая кривая пересекает обе поверхности. В частности, эта кривая будет одной из тех, соединяющих точки А и В, которые обращают интеграл в максимум или минимум. Следовательно, это — одна из кривых С, определяемых уравнениями (3V Для определения точек А и В заметим, что при переходе от кривой , которая обращает интеграл I между двумя поверхностями в максимум или минимум, к произвольной бесконечно близкой кривой, и, в частности, к другой бесконечно близкой кривой С, вариация должна быть равна нулю. Вычислим эту вариацию при переходе от кривой к другой бесконечно близкой кривой С; пусть это будет кривая , которая выходит из той же самой точки А и оканчивается в точке поверхности 2. Тогда на основании полученной выше формулы

Так как вариация должна быть равна нулю, то нулю должен быть равен косинус. Следовательно, угол должен быть, прямым для всех положений точки на поверхности Е и искомая кривая С нормальна к. этой поверхности. Точно так же она нормальна и к поверхности . В частности, если то получается известный элементарный результат,

заключающийся в том, что для нахождения кратчайшего расстояния между S нужно провести общую нормаль к обеим поверхностям. Отсюда видно, что искомая кривая является фигурой равновесия нити, концы которой скользят без трения по двум поверхностям, причем натяжение равно и силовая функция равна . Очевидно, что та же теорема будет справедлива, если одну из поверхностей заменить неподвижной кривой или точкой.

2°. Теорема Тэта и Томсона. Если рассматриваются кривые С, выражаемые уравнениями (3) и нормальные к заданной поверхности S и если на каждой из этих кривых откладывается от точки А, в которой она пересекает поверхность дуга такая, что интеграл

взятый вдоль этой кривой, имеет постоянное значение, одинаковое для всех кривых, то геометрическое место точек В есть поверхность 2, нормальная ко всем кривым.

В самом деле (рис. 100), если перейти от кривой С к бесконечно близкой кривой то вариация заданная формулой (4), равна, по предположению, нулю, но так как в силу того, что кривая С нормальна к то и и кривая С нормальна к .

Эта теорема, которая содержит как частный случай теорию параллельных поверхностей, справедлива, очевидно, и в предельном случае, когда поверхность S сводится к сфере бесконечно малого радиуса, т. е. когда кривые С проходят через неподвижную точку.