IV. Плоские эластики

151. Натяжение и изгибающий момент.

Пусть дан однородный упругий стержень, длина которого велика по сравнению с его толщиной и который имеет по всей своей длине одинаковые поперечные сечения. Осью стержня называют геометрическое место центров тяжести его поперечных сечений. Естественным состоянием равновесия стержня является та его форма, которую он принимает, когда на него не действуют никакие силы, которые стремились бы его деформировать, например, когда он положен на стол. Если к стержню приложить силы, стремящиеся его изогнуть, то он изменит свою форму и придет в новое состояние равновесия, которое называется вынужденным состоянием равновесия, соответствующим данным силам. Мы исследуем здесь наиболее простые случаи равновесия, когда изогнутая ось стержня (эластика) является плоской кривой. Но сначала укажем некоторые общие предложения, касающиеся такого рода задач.

Рассмотрим упругий стержень, ось которого в естественном состоянии имеет вид плоской кривой и пусть — радиус кривизны в какой-нибудь точке М этой кривой. Допустим теперь, что стержень деформируют, приложив к нему некоторые силы, но деформируют

так, чтобы не изменилась длина стержня и чтобы его ось осталась плоской и приняла новую форму С. Радиус кривизны в точке М будет теперь . В этом положении вынужденного равновесия силы упругости определяются следующими законами.

Если разрезать стержень в точке М, то для сохранения равновесия нужно будет к сечению в точке М приложить силу Т, лежащую в плоскости кривой С и пару с вектором момента, перпендикулярным к этой плоскости, численное значение которого (изгибающий момент) пропорционально изменению кривизны, так что

где В — постоянный коэффициент, зависящий от природы стержня.