II. Движение материальной точки на изменяемой кривой
258. Уравнения движения.
Рассмотрим точку, скользящую без трения по кривой, положение и форма которой изменяются с течением времени. В неподвижных осях уравнения этой кривой будут
Нормальная реакция 
кривой имеет проекции
и точку можно рассматривать как свободную, но находящуюся под действием равнодействующей 
заданных сил и реакции 
Тогда уравнения движения будут:
Эти три уравнения совместно с уравнениями кривой определяют 
т. е. движение точки, и 
т. е. реакцию, в функции времени. Следует заметить, что реакция не исчезает в уравнении кинетической энергии. В этом можно убедиться аналитически, умножая уравнения (1) соответственно на 
и складывая. В полученном равенстве коэффициенты при 
не будут равны нулю. В самом деле, когда 
увеличивается на 
тогда х, у, z
увеличиваются на 
и так как функция 
должна оставаться равной нулю, то
Следовательно, коэффициент при X обращается в 
Точно так же коэффициент при X, обращается 
Этот результат ясен и геометрически, так как действительное перемещение точки происходит не по касательной к движущейся кривой и работа реакции не равна нулю. Для исключения реакции пользуются методом, рассматриваемым ниже.
259. Уравнения Лагранжа.
Пусть 
— параметр, определяющий положение точки на кривой С. К моменту 
координаты какой-нибудь точки кривой и, в частности, движущейся точки будут
Движение точки будет известно, если будет известно, как изменяется 
с течением времени.
Умножим уравнения движения (1) соответственно на 
и сложим. Коэффициенты при X и 
обратятся в нуль, так как они будут отличаться множителем от косинусов углов, образуемых касательной к кривой С с нормалями к каждой из поверхностей 
Тогда останется
где положено
Это и есть уравнение движения, определяющее значение параметра 
служащего для фиксирования положения точки на кривой в функции времени. Чтобы придать этому уравнению более удобную форму, мы применим к нему важное преобразование, введенное Лагранжем, с которым мы снова встретимся в самой общей задаче динамики голономных систем.
Обозначим через 
производную параметра 
по времени и через х, у, z проекции скорости точки на оси координат. Согласно формуле 
абсцисса движущейся точки зависит от времени и непосредственно, и через параметр 
потому что последний в свою очередь является функцией от 
Имеем
Рассматривая х как функцию трех переменных 
имеем очевидные равенства
Последняя формула показывает, что
В самом деле, зависит от 
и непосредственно и через 
поэтому
Для 
получаются аналогичные формулы:
Установив это, мы можем уравнение (2) написать следующим образом:
так как равно 
. Заменяя в последнем уравнении 
полученными выше значениями 
а производные 
их значениями 
будем иметь:
или, обозначая через Т кинетическую энергию точки,
окончательно получим
Это и есть уравнение движения по Лагранжу. После замены х, у, z их значениями по формуле (3) и ей аналогичными, величина Т станет функцией от 
и 
причем второй степени относительно 
Как только эта функция будет вычислена, можно будет сразу составить уравнение (4).
Написанное выше значение 
можно определить следующим образом. Представим себе, что движущейся точке сообщено возможное перемещение, которое получится, если кривую С сделать неподвижной в занимаемом ею в момент 
положении и переместить точку по этой кривой. Или аналитически представим себе, что точке сообщено перемещение, которое получится, если 
считать постоянным, а параметр 
увеличить на 
Тогда будет
Для этого возможного перемещения работа заданной силы X, Y, Z равна
Следовательно, величина 
является коэффициентом при 
в выражении возможной работы.
Если существует силовая функция 
или же, вообще, если X, Y, Z будут частными производными по х, у, z какой-то функции 
содержащей время, то будет также
где последняя производная вычислена в предположении, что в функции 
координаты заменены их выражениями через 
и 
Действительно, так как 
зависит от 
через 
то, очевидно, имеем
260. Задача.
Материальная точка скользит без трения по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости 
и вращающейся с постоянной угловой скоростью 
вокруг одной из своих точек О, которая закреплена неподвижно. Исследовать движение точки, предполагая, что на нее не действует никакая непосредственно приложенная сила.
Пусть А — точка окружности, диаметрально противоположная неподвижной точке; угол 
изменяется пропорционально времени. Отсчитывая 
от того момента, когда это 
угол равен нулю, найдем (рис. 162):
Рис. 162.
Пусть С — центр окружности, 
движущаяся точка. Мы будем определять положение точки М на окружности углом 
который будет играть роль параметра 
Проектируя контур 
на оси, получим 
и
Обозначая через 
производные от 
по 
имеем:
Так как заданных сил нет, то
Следовательно, уравнение (4) после всех приведений будет иметь вид
Сравнивая это уравнение с уравнением движения математического маятника
мы видим, что относительное движение точки М для наблюдателя, который движется вместе с окружностью, будет движением математического маятника, причем точка А будет играть для него роль наиболее низкой точки. Продолжительность двойного бесконечно малого размаха, равная 
будет здесь 
она в точности равна продолжительности одного оборота окружности. Продолжительность конечных колебаний будет больше.
Для вычисления нормальной реакции 
будем исходить из общих уравнений движения, которые в данном случае имеют вид
так как точка находится под действием только силы 
Из этих уравнений находим
что можно написать так
Заменяя в этой формуле и их значениями, получим
Это выражение зависит от 
. Реакция, следовательно, не будет одинаковой при прохождении движущейся точки через одну и ту же точку окружности в одну или другую сторону, так как знак 0 не будет одинаковым в обоих случаях.
Если движущаяся точка отталкивается от центра О силой, пропорциональной расстоянию 
то эта сила, равная 
будет иметь силовую функцию 
которая, будучи выражена через 
, примет вид
Тогда
и уравнение движения сохранит вид уравнения движения математического маятника, для которого 
будет равно 
261. Случай неподвижной кривой.
Само собой понятно, что изложенный метод, будучи общим, применим и к движению точки по неподвижной кривой. При этом обычно можно выбрать параметр 
таким образом, чтобы 
выраженные в функции 
не содержали явно 
тогда
т. e. T будет однородной функцией второго порядка относительно 
Уравнение Лагранжа
должно совпадать с уравнением кинетической энергии, так как при неподвижной кривой применение теоремы кинетической энергии приводит к единственному уравнению движения. Это легко проверить. В самом деле, умножая уравнение Лагранжа на 
получим
или
Но вследствие однородности функции 
произведение 
равно 
и более того, так как Т зависит от 
только через 
то
Поэтому уравнение принимает вид
или
что действительно является уравнением кинетической энергии.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
