9. Теория моментов.

1. Момент вектора относительно точки (или векторный момент). Момент вектора относительно какой-нибудь точки В (рис. 8) есть вектор приложенный в точке В и имеющий: 1) модуль, равный произведению модуля вектора Р, на расстояние от точки В до этого вектора, 2) линию действия, перпендикулярную плоскости направление такое, что точка, перемещающаяся по от поворачивается вокруг в положительном направлении.

Модуль этого момента равен удвоенной площади треугольника Он равен нулю тогда, когда либо либо 8 равно нулю. Момент не изменяется, когда вектор перемещается вдоль своей линии действия, или когда точка В перемещается вдоль прямой, параллельной этому вектору.

Пример. Векторное произведение определение которого дано в пункте 7, равно моменту вектора относительно конца вектора (рис. 6). Наоборот, векторное произведение равно моменту вектора относительно конца вектора

2. Момент относительно оси. Этот момент есть число положительное, отрицательное или равное нулю. Его называют иногда скалярным моментом относительно оси в противоположность векторному моменту относительно точки. Определяется он следующим образом: момент вектора относительно некоторой оси (рис. 9), на которой выбрано положительное направление, есть алгебраическое значение проекции на эту ось момента вектора относительно точки, взятой на оси.

Рис. 9.

Чтобы такое определение имело смысл, необходимо показать, что значение момента не зависит от выбора точки на оси. Проведем через какую-нибудь точку В оси плоскость П, перпендикулярную оси, и пусть — проекция вектора на эту плоскость, — момент вектора относительно точки В и — проекция на ось Так как угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами к ним, то

Но так как модуль момента равен удвоенной площади то его проекция равна по абсолютному значению удвоенной площади а последняя величина не зависит, очевидно, от выбора точки В на оси Знак проекции также не зависит от выбора точки В и будет или — в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль вращаться вокруг в положительном или в отрицательном направлении.

Можно вывести несколько различных выражений для момента вектора относительно оси.

Обозначим через кратчайшее расстояние между вектором и осью, а через — угол между ними. Проекция отрезка на плоскость П равна самому отрезку, а величина равна и поэтому момент относительно оси будет

причем знак или — берется в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся вдоль поворачиваться вокруг оси в положительном или в отрицательном направлении.

Отложим на оси в положительном направлении отрезок длины и обозначим объем тетраэдра, имеющего в качестве противоположных ребер, через объем При этом он принимается положительным или отрицательным в зависимости от того, будет ли точка, перемещающаяся от начала к концу одного из векторов или поворачиваться вокруг другого вектора в положительном или в отрицательном направлении. Тогда момент вектора относительно будет объем.

В самом деле, это равенство справедливо по знакам и по абсолютным значениям, так как рассматриваемый объем не изменится при перемещении вершин и до положений что приведет к новому тетраэдру, объем которого V равен одной трети произведения на площадь поэтому, абсолютное значение момента, равное удвоенной площади равно величине , деленной на

Примечание. Из формулы вытекает, что момент равен нулю, когда один из трех множителей равен нулю, т. е. когда вектор либо равен нулю, либо лежит в одной плоскости с осью.