161. Свободное твердое тело.

Пусть свободное твердое тело находится под действием заданных сил Это тело образовано большим числом материальных точек, вынужденных оставаться на неизменных расстояниях друг от друга. Это и будут связи, наложенные на систему. В этом новом случае единственными возможными перемещениями, допускаемыми связями, являются те, при которых форма тела остается неизменной. Пусть для одного из этих перемещений с обозначают проекции скорости поступательного движения, а — проекции мгновенной угловой скорости. Эти шесть величин могут быть выбраны совершенно произвольно, так как твердому телу можно сообщить какое угодно перемещение. Скорость точки (х, у, z) имеет проекции

так что возможная работа

силы приложенной к точке равна

Мы можем это выражение написать так:

Следовательно, сумма работ на возможных перемещениях всех непосредственно приложенных сил будет

Если тело находится в равновесии, то коэффициенты при шести произвольных величинах равны нулю и мы действительно имеем

для любого перемещения, допускаемого связями, и, наоборот, если равно нулю, каковы бы ни были эти произвольные величины, то необходимо, чтобы коэффициенты равнялись нулю, т. е. чтобы выполнялись условия равновесия.

Вне зависимости от того, находится ли тело в равновесии или нет, сумма работ реакций связей, которые являются здесь силами взаимодействия между точками системы, равна нулю для любого перемещения, допускаемого связями. В самом деле, пусть и две точки тела, находящиеся на расстоянии друг от друга. Точка оказывает на точку какое-то действие направленное по , а точка согласно закону равенства действия и противодействия оказывает на точку равное и прямо противоположное действие (п. 88, рис. 62). Эти две силы являются реакциями связи, вызванными взаимодействием обеих точек связанных между собой так, что они остаются на неизменном расстоянии друг от друга. Для того чтобы осуществить эту связь, можно вообразить, что обе точки связаны между собой твердым стержнем, лишенным массы. Условимся, как и раньше, называть алгебраическим значением силы взаимодействия обеих точек абсолютное значение этого действия, взятое со знаком или — в зависимости от того, отталкиваются точки или притягиваются. Для произвольного возможного перемещения, сообщенного обеим точкам, сумма работ обеих сил равна (п. 88)

Если возможные перемещения, сообщенные обеим точкам, допускаются наложенной на них связью, согласно которой расстояние между ними должно оставаться постоянным, то и сумма работ реакций связи равна нулю. То же самое имеет место для всех взаимных действий попарно взятых точек тела, что и доказывает высказанное предложение.