107. Условия, при которых силы, находящиеся в равновесии, могут быть направлены по трем, четырем, пяти, шести прямым.

Найдем, как должны быть расположены в пространстве три, или четыре, или пять, или шесть прямых, для того, чтобы по ним можно было направить силы, находящиеся в равновесии. Сделаем сначала следующее замечание. Если несколько сил находятся в равновесии, то сумма их моментов относительно произвольной оси равна нулю, поэтому, если какая-нибудь ось А пересекает направления сил, то момент каждой из этих сил будет равен нулю и потому момент последней силы будет также равняться нулю, вследствие чего ось пересечет линию действия этой последней силы в точке, находящейся на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Это свойство сохраняется и для мнимой оси, несмотря на то, что нельзя больше говорить о моментах относительно этой оси. В самом деле, пусть — две вещественные или мнимые точки, — прямая, их соединяющая, и проекции и моменты какой-нибудь силы приложенной в точке Условие того, что прямая и сила находятся в одной плоскости, на основании элементарных формул аналитической геометрии, заключается в том, что величина

равна нулю. Если силы находятся в равновесии, то сумма

равна, очевидно, нулю. Следовательно, если величины. равны нулю, т. е. если ось пересекает первых сил, то и равно нулю и ось пересекает также и последнюю силу на конечном расстоянии или в бесконечно удаленной точке. Если точка х, у, z вещественная, то условие означает, что момент относительно этой точки перпендикулярен к прямой

1°. Три прямых. Допустим, что по трем прямым направлены три силы, находящиеся в равновесии. Любая ось, пересекающая две из этих прямых, должна пересекать также и третью. Все три прямые обязательно находятся в одной плоскости: если две из этих прямых пересекаются в одной точке, то и третья прямая проходит через эту точку, в противном случае, все три прямые параллельны. Эти условия необходимы. Если они удовлетворены, то по этим трем прямым можно, очевидно, всегда направить силы, находящиеся в равновесии.

2. Четыре прямых. Допустим, что по четырем прямым направлены четыре силы, находящиеся в равновесии. Любая ось пересекающая три из этих прямых, должна пересекать и четвертую. Следовательно, если мы остановимся на общем случае, когда никакая пара прямых не лежит в одной плоскости, то линейчатая поверхность второго порядка (гиперболоид или параболоид), представляющая собою геометрическое место осей пересекающих одновременно три прямых, должна содержать и четвертую, как образующую той же системы, что и три первых. Мы получаем, таким образом, необходимое условие, указанное Мёбиусом: необходимо, чтобы были четырьмя образующими (одной и той же системы) поверхности второго порядка. Для того чтобы показать, что это условие является достаточным, мы воспользуемся следующим доказательством, Данным Дарбу (статья в первом томе Механики Депейру).

Возьмем на гиперболоиде четыре образующих одной и той же системы. Через точку А (рис. 70) пространства проведем прямые параллельные этим образующим. Направим по прямой силу и пусть являются составляющими по прямым силы, равной и противоположной силе и приложенной тоже в точке А. Геометрическая сумма четырех полученных таким образом сил будет, очевидно, равна нулю. Перенесем теперь эти силы параллельно самим себе на прямые после чего получим силы Эти четыре новые силы находятся в равновесии. Действительно, их главный вектор равен нулю, и их главный момент будет поэтому одинаковым относительно всех точек пространства. Этот главный момент либо равен нулю, либо перпендикулярен всем образующим второй системы гиперболоида, так как каждая такая образующая пересекает четыре прямые и поэтому сумма моментов относительно т. е. проекция главного момента на ось равна нулю.

Рис. 70.

Отсюда следует, что главный момент равен нулю, так как он не может быть перпендикулярен всем образующим одной и той же системы гиперболоида, поскольку последние не параллельны одной и той же плоскости. Таким образом, имеет место равновесие.

Если четыре прямых являются образующими одной и той же системы гиперболического параболоида, то вспомогательные прямые лежат, в одной плоскости. Тогда можно, поступая как и в предыдущем случае, поместить на трех первых прямых три силы главный вектор которых равен нулю, а главный момент имеет величину а, одинаковую для всех точек пространства, и направлен перпендикулярно ко всем образующим второй системы, т. е. перпендикулярно второй направляющей плоскости. Точно так же можно поместить на прямых три силы главный вектор которых равен нулю и главный момент которых перпендикулярен второй направляющей плоскости, т. е. имеет то же направление, что и а Если теперь на четырех прямых поместить силы

полученные сложением сил первой системы, умноженных на X, и сил второй системы, умноженных на то главный вектор будет равен нулю, а главный момент будет перпендикулярен второй направляющей плоскости и будет равен Величинами X и можно распорядиться таким образом, чтобы этот момент равнялся нулю, и тогда указанные четыре силы будут находиться в равновесии.

3°. Пять прямых. Если по пяти прямым можно направить пять сил, находящихся в равновесии, то любая прямая, пересекающая четыре из них, будет обязательно пересекать и пятую. Существуют две вещественные или мнимые секущие пересекающие

В самом деле, прямые пересекающие образуют поверхность второго порядка которая пересекает прямую в двух вещественных

или мнимых точках Две образующие S системы А, проходящие через эти две точки, образуют две секущие, пересекающие четыре прямых Эти две секущие должны также пересечь и прямую Необходимо, следовательно, чтобы существовали две прямые, пересекающие одновременно все пять заданных прямых, или, на языке геометрии прямых, заданные пять прямых должны принадлежать линейной конгруенции. Рассуждениями, совпадающими с предыдущими (случай параболоида), можно показать, что это условие является достаточным.

4°. Шесть прямых. Для того чтобы по шести прямым можно было направить шесть сил, находящихся в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эти прямые принадлежали линейному комплексу.

Применим аналитический метод, указанный Мёбиусом и Сомовым. На одной из шести прямых отложим в определенном направлении отрезок единичной длины и обозначим через проекции этого отрезка на три оси, а через — его моменты относительно этих осей. Эти шесть величин, связанных соотношением

пропорциональны величинам, названным Плюккером координатами прямой Направим теперь вдоль прямой силу, алгебраическое значение которой, отсчитываемое в направлении отрезка d равно . Проекции и моменты этой силы равны

Если все это проделать для каждой из шести рассматриваемых прямых и написать, что шесть сил находятся в равновесии, то получится шесть уравнений

где суммирование распространяется на все шесть сил. Из этих шести линейных и однородных уравнений можно определить для шести неизвестных значения, неравные одновременно нулю лишь в том случае, когда определитель, составленный из коэффициентов уравнений (1), равен нулю. Таким образом, получаем необходимое и достаточное условие

которое выражает, что шесть прямых принадлежат одному и тому же линейному комплексу.

Такие же вычисления показывают, что если число заданных прямых превышает шесть, то по ним всегда можно направить силы, находящиеся в равновесии, так как шесть уравнений (1) будут содержать более шести неизвестных.