211. Приложение к движениям, происходящим под действием силы зависящей только от положения.

1°. Вертикальное движение тяжелого тела в пустоте.

В качестве оси примем направленную вверх вертикаль, проходящую через начальное положение точки. Обозначим через алгебраическое значение начальной скорости, которое предполагается вертикальным. Сила, действующая на точку, равна в каждый момент времени и поэтому уравнение движения будет

Интегрируя первый раз, находим

причем время отсчитывается от того момента, когда точка начинает двигаться. Интегрируя второй раз, получим

если абсциссы отсчитываются от начального положения точки. Если положительно, то скорость, будучи вначале положительной, затем убывает и обращается в нуль по истечении промежутка времени Начиная с этого момента, скорость становится отрицательной и неограниченно увеличивается по абсолютному значению. Исключая из равенств (2) и (3), найдем

К этому же соотношению можно прийти, применяя теорему кинетической энергии, т. е. умножая обе части равенства (1) на 2 и интегрируя.

Таким образом,

При сделанном нами предположении, что точка начинает двигаться вверх и в начале движения ее скорость положительна. Следовательно, перед радикалом надо взять знак Пока х будет увеличиваться до скорость будет уменьшаться до нуля, после чего точка начнет падать и тогда перед радикалом надо будет взять знак Полученное нами выражение для скорости доказывает, что на одной и той же высоте, как при движении вверх, так и движении вниз, точка имеет скорость, одинаковую по абсолютному значению. Точка проходит на этой высоте каждый раз через одну и ту же поверхность уровня.

Рис. 132.

2°. Движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром О пропорционально расстоянию.

Примем точку О (рис. 132) за начало, а за ось — прямую которая будет траекторией. В качестве положительного направления примем , где — начальное положение точки, и обозначим через начальную скорость.

Рассмотрим случай притяжения. В этом случае сила в какой-нибудь момент времени будет равна где положительно, каково бы ни было положение точки, справа или слева от 0. Полагая получим уравнение движения

Это уравнение является линейным уравнением с постоянными коэффициентами без правой части. Его общий интеграл имеет вид

где А и В — две постоянные. Скорость есть производная от х по t:

Для определения постоянных дадим величинам начальные значения , которые они имеют при Получим

Значение х будет тогда

Следовательно, движение является простым колебанием периода (вперед и обратно). Для нахождения амплитуды колебания положим:

Тогда

Следовательно, х изменяется от до , т. е. амплитуда равна а.

Если начальная скорость равна нулю, то

В этом случае время, необходимое точке для достижения положения О, равно четверти периода Т, т. е. Оно не зависит от Этот результат выражают, говоря, что движение является таутохронным.

Применение теоремы кинетической энергии. Умножая обе части уравнения движения на и интегрируя, получим

При должно быть следовательно, является существенно положительной величиной, большей, чем или равной ей; следовательно, мы можем предположить, что причем Тогда уравнение движения принимает вид

и время определяется элементарной квадратурой

приводящейся к арксинусу. Мы приходим, таким образом, с иной точки зрения к уравнению движения (2). Формула (4) показывает, что х может изменяться только между — а и а для того, чтобы радикал был вещественным. Когда х изменяется от — а до перед радикалом (4) следует брать знак а когда х уменьшается от а до — а, нужно брать знак «—».

3°. Точка отталкивается неподвижным центром пропорционально расстоянию. Уравнение движения

является линейным с постоянными коэффициентами и его общий интеграл имеет вид

где — начальные абсцисса и скорость. Если

то уравнение для х принимает вид

В этом случае точка неограниченно приближается к отталкивающему центру, никогда его не достигая, так как при неограниченном возрастании времени абсцисса х стремится к нулю.

Применение теоремы кинетической энергии. Можно применить другой метод исследования и интегрирования.

Умножим обе части уравнения движения на и проинтегрируем.

Получим

где Следовательно,

Допустим сначала, что Тогда точка будет все время удаляться от отталкивающего центра и ее скорость будет неограниченно возрастать вместе с х.

Допустим теперь, что Так как в начале движения скорость отрицательна, то перед корнем нужно взять знак Пусть Пока точка приближается к началу 0, ее скорость уменьшается до значения с этой скоростью движущаяся точка проходит через начало О и удаляется с неограниченно возрастающей скоростью. Если отрицательно, то его можно положить равным и тогда получим

где а обязательно меньше так как при скорость вещественна. Следовательно, движущаяся точка приближается к точке А (рис. 133) с абсциссой а и - приходит в эту точку за конечный промежуток времени, так как время, необходимое для прохождения отрезка пути равное

стремится к некоторому пределу Т, когда х стремится к а. По истечении промежутка времени Т скорость меняет знак и точка неограниченно удаляется от А с постоянно возрастающей скоростью.

Интересно исследовать промежуточный случай, когда или

Рис. 133.

Положим

тогда

Скорость неограниченно уменьшается по мере того, как точка неогра ниченно приближается к началу О. Но она не может достигнуть его за

конечный промежуток времени, так как время, необходимое ей для того, чтобы подойти к началу расстояние х, равно

а это выражение неограниченно возрастает, когда х стремится к нулю. Точка О отличается той особенностью, что она является положением неустойчивого равновесия; движущаяся точка, помещенная в начало О без начальной скорости, останется в покое; но если ее немного удалить, то отталкивание удалит ее еще больше. Чаще всего, когда движущаяся точка приближается к положению неустойчивого равновесия со скоростью, стремящейся к нулю, она к этому положению неограниченно приближается, никогда его не достигая.

4°. Движение точки, притягиваемой неподвижным центром, обратно пропорционально квадрату расстояния.

Когда х положителен, тогда если х отрицателен, то надо принять Мы рассмотрим первый случай. Тогда уравнение движения, если положить будет

Умножим его на и проинтегрируем. Получим выражение теоремы кинетической энергии

где Предположим, что точка выходит из с начальной скоростью которая или отрицательна, т. е. направлена к точке О, или равна нулю. Тогда вначале нужно принять

и движущаяся точка будет приближаться к точке О с неограниченно возрастающей скоростью, что физически невозможно, так как тогда удар должен был бы произойти раньше, чем расстояние между обеими точками обратится в нуль.

Если точке сообщается движение в положительную сторону, то сначала надо принять

Если то по мере того, как х возрастает, скорость v убывает, но остается все время больше чем следовательно, точка будет неограниченно удаляться и так как при этом ее скорость стремится к то через некоторое время движение можно рассматривать как равномерное.

Если то движущаяся точка обязательно достигнет любого положения на прямой, как бы удалено оно ни было, так как между точкой и произвольной точкой Р с абсциссой скорость больше чем из этого следует, что движущаяся точка неограниченно удаляется со скоростью, стремящейся к нулю.

Если отрицательно, то, полагая приведем уравнение движения к виду

причем (рис. 134), так как радикал должен быть вещественным при Скорость будет сначала направлена в положительную сторону и будет уменьшаться, пока х возрастает. Движущаяся точка будет приближаться сколь угодно близко к точке А с абсциссой а и достигнет ее за конечный промежуток времени. После этого движение переменит направление, так как сила — притягивающая и она стремится, как и в случае, когда привести точку в начало О.

Рис. 134.

Задачу можно рассмотреть еще иначе, выполнив квадратуру, которая определит в функции х. В самом деле, имеем

Если положить — то задача сведется к интегрированию рациональной дроби.

5°. Точка притягивается неподвижным центром пропорционально степени расстояния:

В этом случае, если точка помещена без начальной скорости на расстоянии от начала, то она его достигнет за промежуток времени

В этом выражении определенный интеграл является эйлеровым интегралом Отсюда ясно, что единственным значением при котором Т не зависит от является (пример 2).

6°. Исследование общего случая. Сила имеет вид и уравнение движения будет

После первого интегрирования получим (теорема кинетической энергии)

или

Допустим для определенности, что является рациональной дробью. Знак перед корнем в начале движения определяется направлением, в котором точка начинает двигаться.

Допустим, например, что следует взять знак тогда движущаяся точка будет удаляться в положительном направлении. Единственными особенностями являются нули и бесконечности функции Допустим, что при возрастании х мы придем сначала к точке, в которой функция бесконечна. В этом случае движущаяся точка будет перемещаться с неограниченно возрастающей скоростью в положение А, соответствующее этой бесконечности; данный результат и дает решение задачи. (Физически такой случай невозможен). Допустим теперь, что первой особенностью является простой нуль. Тогда можно написать

где не обращается в нуль между и а, и мы получим

При этом функция в промежутке от до а должна быть положительной для того, чтобы было вещественным. Движущаяся точка подходит сколь угодно близко к точке А с абсциссой а, так как на отрезке (рис. 134) скорость не обращается в нуль и, следовательно, превосходит некоторую положительную величину Поэтому движущаяся, точка обязательно достигает положения В. Но она достигает также за конечный промежуток времени и положения А, так как время, необходимое ей для прохождения расстояния от до х, равное

остается конечным, когда х стремится к а. В точке А скорость обращается в нуль и дальнейшее движение будет происходить в направлении силы. При этом точка обязательно пойдет обратно, так как если х перейдет через а, то станет мнимым. Если особенность х — а будет двойным или кратным корнем, то движущаяся точка будет сколь угодно близко подходить к точке А, но не достигнет ее за конечный промежуток времени, так как, предполагая корень двойным, имеем

и вследствие этого

где функция будет по-прежнему положительной между . Время

необходимое движущейся точке для прохождения расстояния от до х, неограниченно возрастает, когда х стремится к а. Можно заметить, что если является двойным корнем, то соответствующее положение является положением неустойчивого равновесия. Действительно,

и, кроме того,

Отсюда, дифференцируя, получим для силы выражение

которое действительно обращается в нуль при Но если сила при обращается в нуль, то соответствующее положение А есть положение равновесия. Оно неустойчиво, так как если точку бесконечно мало удалить от этого положения, сообщив абсциссе х значение, меньшее чем а, но бесконечно к нему близкое, то вышенаписанное выражение, в котором положительно вблизи показывает, что X станет отрицательным; следовательно, точка стремится двигаться в отрицательном направлении и еще более удаляться от положения равновесия.

Часто встречающимся частным случаем является следующий: точка выходит из положения со скоростью и первыми особенностями, которые встречаются при увеличении х или при его уменьшении, являются два простых нуля и с функции где Тогда можно написать

где — положительно между а и с. В этом случае имеем

где попеременно нужно брать знаки и так как, согласно предыдущему движущаяся точка будет колебаться между двумя точками А и С с абсциссами а и с (см. рис. 134). Продолжительность колебания (вперед и назад) равна

Если, следовательно, х рассматривать как функцию от (обращение интеграла), то х будет периодической функцией с периодом Т. Согласно теореме Фурье х можно разложить в тригонометрический ряд вида

сходящийся при всех значениях Определение коэффициентов представляет большие трудности, кроме случая, когда является относительно х многочленом степени, меньшей или равной двум. Тогда х является круговой или эллиптической функцией аргумента По вопросу вычисления этих коэффициентов в общем случае отсылаем к работе Вейерштрасса «Ueber eine Oattung reel periodischer Funktionen» (Monatsbericht der Akad. der Wissen. zu Berlin). Можно получить приближенную формулу для закона движения, применяя метод, указанный Аппеллем (Comptes Rendus, т. 160, 1915, стр. 419).