162. Лемма.

Замечания, сделанные в трех рассмотренных примерах, мы возведем сейчас в общее правило и докажем следующую лемму.

Независимо от того, будет ли система материальных точек находиться в равновесии или нет, сумма возможных работ реакций связей на любом возможном перемещении, допускаемом связями, равна нулю. При этом является существенным предположение, что трения нет.

Достаточно, очевидно, доказать эту лемму для каждой связи системы и поэтому мы переходим к обзору различных видов связей. Мы разобьем их на две категории:

1) связи тел системы с другими неподвижными телами;

2) связи тел системы между собой.

Первая категория, а) Наиболее простым является случай, когда твердое тело имеет неподвижную точку; единственно возможным перемещением будет вращение вокруг этой точки; работа реакции связи или реакции неподвижной точки будет равна нулю, так как ее точка приложения при таком движении тела не перемещается. То же самое будет иметь место и в случае, когда тело имеет две неподвижные точки, т. е. вращается вокруг неподвижной оси.

б) Допустим, что какая-нибудь поверхность связанная с каким-нибудь телом сиртемы, скользит без трения по какой-нибудь неподвижной поверхности Реакцией связи будет нормальная реакция этой поверхности S на S (рис. 106); ее точкой приложения является точка М поверхности находящаяся в соприкосновении с Так как перемещение этой точки должно находиться в общей касательной плоскости поверхностей S и то работа нормальной реакции равна нулю. Одна из обеих поверхностей S или S может вырождаться в линию или в точку.

Рис. 106.

в) Допустим, наконец, что поверхность связанная с каким-нибудь твердым телом системы, катится и вертится без скольжения по неподвижной поверхности Реакция поверхности S на S (рис. 106) по-прежнему приложена в точке М поверхности находящейся в соприкосновении, но эта реакция не будет больше нормальной, так как связь между 5 и S противодействует скольжению. Сообщим системе перемещение, допускаемое рассматриваемой связью, т. е. сообщим поверхности S качение и верчение по поверхности и пусть — возможная скорость точки М. Возможная работа силы Р будет при этом Эта работа равна нулю, так как при скольжении и верчении скорость точки соприкосновения М равна нулю.

Наиболее простым примером такого рода связи будет следующий.

Колесо оставаясь в неподвижной плоскости, катится без скольжения по неподвижной кривой S (рис. 106). Эту связь можно осуществить, снабдив колесо и кривую бесконечно малыми зубцами, находящимися в зацеплении друг с другом, или закрепив лишенную массы нерастяжимую нить в какой-нибудь точке А окружности колеса и протянув ее по окружности до точки касания М и далее по кривой S до некоторой неподвижной точки В, где она должна быть закреплена.

Вторая категория, а) Пусть сначала два движущихся твердых тела сочленены в точке О. Реакциями связи будут равные и прямо противоположные реакции Р и Р обоих тел. Так как их точки

приложения совпадают при всех допускаемых перемещениях, то сумма возможных работ этих двух сил равна нулю. То же самое будет, справедливо, если оба тела должны все время иметь больше двух общих точек, например если они связаны шарниром.

б) Рассмотрим теперь две поверхности, связанные с телами системы, обе находящиеся в движении и вынужденные скользить без трения одна по другой (рис. 107). Реакции связей, являющиеся реакциями этих поверхностей, равны, противоположно направлены и нормальны к общей касательной плоскости в точке касания. Пусть — возможные скорости точек поверхностей S и находящихся в рассматриваемый момент в соприкосновении. Эти скорости не будут одинаковыми, так как можно, например, получить перемещение, допускаемое связями, если одну поверхность закрепить неподвижно, а другую заставить скользить по ней.

Рис. 107.

Обозначая через проекции соответствующих возможных скоростей на получим следующее выражение для полной возможной работы

Так как движением поверхности S относительно поверхности S является скольжение, то относительная скорость точки М по отношению к поверхности S лежит в общей касательной плоскости, и для абсолютной скорости точки М получаем

где — переносная скорость точки М. Эта переносная скорость является, по определению, скоростью точки системы отсчета совпадающей с точкой т. е. скоростью V точки М. Следовательно, имеем

и, проектируя на направление получим

так как лежит в касательной плоскости и ее проекция равна нулю. Но , так как обе эти величины обозначают

проекции одного вектбра V на два прямо противоположных направления и следовательно,

и работа равна нулю.

в) Допустим, наконец, что какое-то твердое тело системы ограничено поверхностью S (рис. 108), которая катится и вертится по некоторой поверхности являющейся частью тела, также принадлежащего системе. Взаимное действие двух поверхностей S и S в их точке касания не будет больше нормальным к общей касательной плоскости, так как оно препятствует скольжению.

Рис. 108.

Пусть — действие поверхности S на поверхность приложенное в точке касания М, принадлежащей поверхности а — реакция поверхности S на поверхность приложенная в точке касания, принадлежащей поверхности Эти две силы равны и противоположны. Сообщим системе перемещение, допускаемое связями, т. е. такое, при котором S и S перемещаются и S катится по Пусть, как и раньше, — возможные скорости точек — их проекции соответственно на и Сумма возможных работ обеих реакций связи равна

Так как движение S относительно S является качением и верчением, то относительная скорость точки М относительно S равна нулю; переносная скорость точки М так же, как и раньше, равна скорости V точки М и общая формула

принимает вид

Так как обе скорости равны, то их проекции и V, на два противоположных направления равны по величине и обратны по знаку. Поэтому работа равна нулю.