III. Исследование одного определенного интеграла

146. Геометрическая задача.

Нахождение фигуры равновесия нити в случае существования силовой функции может быть сведено при помощи интересного приема к отысканию максимума или минимума некоторого определенного интеграла, который встречается также при определении брахистохрон, при доказательстве принципа наименьшего действия и в общей задаче рефракции.

Пусть — непрерывная функция декартовых координат точки, определенная в некоторой области пространства, включающей все кривые, которые мы будем рассматривать. Разрешим сначала следующую задачу геометрии.

Рис. 98.

Среди всех кривых, соединяющих две неподвижные точки (рис. 98), найти такие, которые обращают интеграл

в максимум или минимум. В этом интеграле обозначает элемент длины кривой, и интеграл распространен на всю кривую между точками . Нетрудно представить себе, что для некоторых кривых С интеграл имеет максимум или минимум. Например, если функция положительна при всех значениях то интеграл будет положительным и не сможет обратиться в нуль; он будет тогда, очевидно, иметь минимум. В частности, если то значение интеграла I равно длине кривой, соединяющей точки А и В, и кривая С, вдоль которой интеграл имеет минимум, есть прямая

Пусть, в общем случае, С — кривая, обращающая интеграл в максимум или минимум. Выразим координаты х, у, z точки М этой кривой в функции какого-нибудь параметра который изменяется в пределах от а до когда точка М описывает дугу Обозначим через тоиззодные от х, у, z по и положим

Имеем

и интеграл вдоль С будет иметь значение

Для того чтобы выразить, что интеграл I имеет минимум, достаточно выразить, что значение того же интеграла, взятого вдоль произвольной кривой бесконечно близкой к С и соединяющей точки А и В, больше чем

Пусть — произвольные функции от обращающиеся в нуль на пределах а и и имеющие производные . Положим

где — бесконечно малая постоянная. Когда изменяется от а до точка с координатами описывает кривую бесконечно близкую к С и проходящую через точки А и В. Имеем вдоль кривой

Для оценки значения разности , т. е. вариации интеграла при переходе от кривой к кривой С, разложим по возрастающим степеням останавливаясь на членах второго порядка. Имеем

где написано вместо Перемножая почленно, получим

Умножая обе части на интегрируя от а до и замечая, что

получим

Освободимся от интегрированием по частям. Имеем

и две аналогичные формулы для членов с . Следовательно, окончательно,

где положено

Проинтегрированная часть равна нулю, так как обращаются в нуль на пределах а и Для того чтобы интеграл вдоль кривой С был максимумом или минимумом, надо, чтобы знак разности сохранялся при любых бесконечно малых положительных или отрицательных значениях е. Надо, следовательно, чтобы коэффициент при равнялся нулю, так как, в противном случае, для достатоточно малых значений разность будет иметь знак величины Следовательно, для того чтобы был максимум или минимум, необходимо, чтобы интеграл, который мы обозначили через У, равнялся нулю, и это должно быть каковы бы ни были произвольно выбранные функции . Но это условие требует, чтобы в интеграле коэффициенты при были тождественно равны нулю-, в противном случае, выбирая для такие функции, которые при всяком значении имеют такие же знаки, как и соответствующие коэффициенты, мы сделаем положительными все элементы интеграла который, очевидно, будет тогда отличным от нуля. Таким образом, искомая кривая С, осуществляющая

максимум или минимум, должна удовлетворять уравнениям

Эти три уравнения приводятся к двум, что может быть непосредственно проверено, если их сложить, умножив предварительно на тогда, принимая во внимание хорошо известные соотношения

мы придем к очевидному тождеству

Уравнения (3) после замены выражением приводятся к двум уравнениям второго порядка, общий интеграл которых определяет у и z в функции х и четырех произвольных постоянных:

Постоянные определяются из того условия, что кривая проходит через две заданные точки А к В, откуда получаются четыре уравнения для определения четырех постоянных. Таким образом определяются искомые кривые, соединяющие две точки. Не все эти кривые дают для интеграла максимум или минимум, но среди них находятся именно те, которые осуществляют максимум или минимум. Так как общие уравнения кривых С содержат четыре произвольных постоянных, то одна из этих кривых определяется четырьмя условиями. Кроме исключительных случаев можно, например, предположить, что кривая проходит через заданную точку и имеет в ней заданную касательную. Легко проверить, что если — постоянная, то кривые С, получаемые интегрированием уравнений (3), как мы это знали уже заранее, являются прямыми

Уравнения (3) показывают, что искомые кривые С являются фигурами равновесия нити, находящейся под действием силы имеющей силовую функцию , причем натяжение нити должно иметь значение . Наоборот, пусть нить

находится в равновесии и уравнения равновесия суть причем . Если на нити взять две фиксированные точки , то фигура равновесия в общем случае придает максимальное или минимальное значение интегралу

и во всех случаях обращает в нуль вариацию этого интеграла. (Мёбиус, Статика, ч. 2, гл. VII).