219. Криволинейное движение тяжелого тела в сопротивляющейся среде.

Когда снаряд находится в движении, его центр тяжести движется так, как если бы в нем была сосредоточена вся масса

тела и к нему были приложены все действующие на снаряд внешние силы.

В случае, которым мы занимаемся, на центр тяжести действуют две силы: вес снаряда и сопротивление среды, которое является равнодействующей поверхностных сил (давлений и трений), перенесенных параллельно им самим в центр тяжести. Эти поверхностные силы, взятые в совокупности, могут, вообще говоря, приводиться к результирующей силе приложенной в центре тяжести, и к паре. Если форма снаряда произвольна, то о направлении этой равнодействующей ничего не известно, и эта сила может вывести центр тяжести из вертикальной плоскости, в которой он выпущен в момент Но если снаряд является сферическим и он не вращается, то равнодействующая лежит в вертикальной плоскости, содержащей скорость центра тяжести и вследствие симметрии траектория этой точки является плоской. Для возможно большего упрощения мы допустим, кроме того, что эта равнодействующая является силой направленной в сторону, противоположную скорости центра тяжести. Сила будет возрастающей функцией скорости Мы назовем эту силу сопротивлением воздуха.

Если допустить, что сопротивление лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр тяжести, то можно доказать аналитически, что траектория плоская. В самом деле, отнесем движение к трем прямоугольным осям причем ось направлена вертикально вверх. Если через обозначить проекции силы то уравнения движения будут:

Из первых двух выводим

Но так как предположено, что вектор прямо противоположен то проекции пропорциональны производным Вследствие этого предыдущее соотношение принимает вид

откуда, интегрируя, найдем

Потенцируя и снова интегрируя, получим

Отсюда следует, что кривая является плоской и ее плоскость вертикальна. Это — плоскость горизонтальной проекции начальной скорости.

Примем эту плоскость за плоскость начальное положение движущейся точки за начало координат, ось направим вертикально вверх, а ось по отношению к направим в ту же сторону, в какую направлена начальная скорость.

Будем исходить из естественных уравнений движения. Обозначим через дугу траектории, через а — угол скорости с осью и через — радиус кривизны (рис. 141). Действующие на точку силы суть вес и сопротивление Их равнодействующая всегда расположена относительно касательной со стороны отрицательных у. Но так как эта сила всегда направлена в сторону вогнутости, то траектория направлена вогнутостью в сторону отрицательных у. Следовательно, угол а будет все время уменьшаться. Его начальное значение равно известной величину . В наивысшей точке траектории он обращается в нуль и далее продолжает уменьшаться. Мы увидим в дальнейшем, что его предельное значение равно

Рис. 141.

Проектируя силы на касательную получим

В этом уравнении есть функция скорости, которую мы напишем так:

Поэтому

Проектируя теперь на нормаль, получим

Но

Здесь нужно взять знак минус, так как с возрастанием угол а убывает, а есть абсолютное значение радиуса кривизны. Внося это значение в предыдущее уравнение, получим

Уравнения (1) и (2) позволяют найти и в функции а. Исключим, из них деля их почленно друг на друга; получим уравнение

Это — уравнение первого порядка. Отсюда находим в функции а:

После этого из уравнения (2) получим

Можно выразить также х и у в функции а при помощи новых квадратур. В самом деле, имеем:

Таким образом, если удастся найти функцию то задача приведется к простым квадратурам.

Выражение

определяющее показывает, что когда а больше, чем — , производная отрицательна и с уменьшением а время действительно увеличивается. То же самое справедливо и для х, так как Что касается у, то он сначала увеличивается, пока а не достигает значения после чего меняет знак, у уменьшается и движущаяся точка опускается. Для нахождения значений х, у, t, соответствующих наивысшей точке, нужно в интегралах положить

Годограф. Уравнение является уравнением в полярных координатах годографа скорости точки, так как есть радиус-вектор точки годографа, угол, который он образует с осью

Естественное уравнение. Если функция известна, то легко найти естественное уравнение кривой. Действительно, мы нашли, что

следовательно,

Случай интегрируемости Лежандра. Мы исследуем со всеми подробностями случай, когда, по предположению, сопротивление определяется формулой

где все три постоянные положительны. Мы будем предполагать, что а меньше единицы, так как в противном случае, если тело отпустить без начальной скорости, его вес будет меньше силы сопротивления и тело не будет падать.

Для рассматриваемого движения уравнение (3) примет вид

Разделив обе части на и приняв за новую переменную получим

Для интегрирования этого линейного уравнения положим

после чего получим

Выберем таким образом, чтобы обратить в нуль коэффициент при получим уравнение

допускающее частный интеграл

При этом значении нам останется для определения проинтегрировать уравнение

Интегрируя это уравнение в пределах от и обозначая через значение при и через начальную скорость, получим

где постоянная С имеет значение в чем убеждаемся, положив

Подставив сюда найденное выше значение для функции получим в функции а. После этого найдем по формулам (4) и (5).

Покажем, что если а убывает до то время неограниченно увеличивается, и у становится бесконечным, но отрицательным, тогда как и х оба имеют определенные пределы, так что кривая имеет вертикальную асимптоту на конечном расстоянии и движение стремится стать прямолинейным и равномерным.

В самом деле, выражение, определяющее величину после умножения на может быть написано следующим Образом:

Когда а стремится к стремится к нулю, так как а меньше 1; с другой стороны, интеграл в правой части обращается при этом в бесконечность.

Так как член стремится к нулю, то достаточно найти предел второго члена правой части, который может быть написан в виде отношения

принимающего вид Отношение производных по а равно

или, заменяя — его вычисленным выше значением, получим

Полагая, наконец, а найдем, что стремится к пределу , a v — к пределу

Интеграл, определяющий х [формула (5)],

остается конечным, когда а стремится к Действительно, так как стремится к конечному пределу X, то подынтегральное выражение остается конечным и поэтому конечным будет х, который стремится к значению

С другой стороны, становится бесконечным при Действительно,

и подынтегральное выражение обращается в бесконечность при и притом таким образом, что стремится к определенному пределу X. Следовательно, этот интеграл ведет себя вблизи как

т. е. обращается в бесконечность. По той же причине выражение

неограниченно возрастает, когда а стремится к Таким образом, высказанные выше предложения установлены.

Найденной предел для скорости, так же как и в случае прямолинейного нисходящего движения, является корнем уравнения

Примечание. Если в каком-нибудь определенном частном случае желательно выполнить квадратуры или по крайней мере приближенно вычислить значения вблизи то проще всего положить

Переменная и, вначале положительная, равна 1 при и стремится к нулю, когда а стремится к

Значение принимает вид

где показатель положителен, так как а меньше 1. Подставляя это значение в выражение для найдем

Когда целое, квадратура может быть выполнена. Это выражение легко поддается разложению в ряд.

Замечание по поводу интегрирования уравнения (3). Мы видели, что задача приводится к квадратурам, если из уравнения (3) удается определить в функции а. Поэтому представляет интерес исследовать это уравнение и указать случаи интегрируемости. Это сделал Сиаччи в двух статьях в Сошptes Rendus, т. CXXXII и CXXXIII, 1901. С другой стороны, для выполнения интегрирования можно привести уравнение (3) при помощи подстановки.

к уравнению

т. е. к виду

Исследованному многими авторами (Рожер Лиувилль, Comptes Rendus, 6 сентября, 1886; Аппель, Sur les invariants de quelques 6qua_tions differen-tielles, Journal de Jordan, т. 5, 1891; Пенлёве, Annales de l’Ecole Normale superieure, т. VIII, 1891; Эллиот, там же, т. VII, 1890). Следует отметить также работы Драха, определившего все виды функции при которых уравнение (3) интегрируется в квадратурах (Comptes Rendus, 1914).