ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ. МАССА И СИЛА

Механика опирается на небольшое число основных законов, которые невозможно вывести непосредственно и к которым пришли длинным путем индукций. Полученные из них следствия подтверждаются наблюдениями. Первая идея этих законов принадлежит Галилею, который при исследовании законов падения тел (наклонная плоскость, маятник, параболическое движение) ввел понятия инерции, ускорения, сложения движений. Гюйгенс был продолжателем Галилея в теории движения точки. Он же первый изучал движение материальной системы. Наконец, Ньютон расширил область механики открытием закона всемирного тяготения.

Мы не ставим своей целью дать критический анализ основных законов механики. Это один из наиболее тонких вопросов, требующий дальнейших исследований.

I. Основные законы

62. Неподвижные оси.

Мы будем относить положение всех тел к некоторой системе осей, которые, по определению, мы будем считать абсолютно неподвижными осями. Эта система осей является триэдром, с вершиной в центре тяжести солнечной системы и с ребрами, направленными на три звезды, называемые неподвижными звездами.

63. Время.

Время, которым мы будем пользоваться, есть среднее время, определяемое в космографии.

64. Материальная точка.

Для того чтобы начать с наиболее простых задач рассматривают сперва движение настолько малой частицы материи, что ее положение, без существенной ошибки, может быть определено как положение геометрической точки. Такую частицу материи называют материальной точкой. В дальнейшем тела рассматриваются как совокупность очень большого числа материальных точек.

Одновременно с изменением положения материальная точка может вращаться и деформироваться, но мы будем здесь заниматься

только ее положением, не интересуясь тем, как она вращается и деформируется.

Наблюдения и опыт показывают, что материальные точки воздействуют друг на друга. Так, например, - материальные точки, образующие тело, называемое твердым, действуют друг на друга таким образом, что форма тела почти сохраняется, когда его пытаются деформировать; две наэлектризованные точки притягиваются или отталкиваются; и т. д.

65. Основные законы. Первый основной закон.

Все материальные точки, предоставленные самим себе, не имеют ускорения.

Этот закон может быть выражен еще так: материальная точка, предоставленная самой себе, сохраняет свою скорость по величине и направлению; она совершает относительно неподвижных осей прямолинейное равномерное движение; в частном случае движения может и не быть. Этот закон известен под названием закона инерции.

Рис. 52.

Второй основной закон. Две материальные точки сообщают друг другу ускорения, лежащие вдоль прямой, их соединяющей, и направленные в противоположные стороны (см. оба чертежа на рис. 52).

Изучение условий, при которых эти ускорения возникают, является предметом экспериментальной физики. Ускорения могут возникнуть вследствие того, что точки наэлектризованы или вследствие того, что они друг на друга давят, или вследствие ньютоновского притяжения и т. д.

Третий основной закон. Отношение численных значений ускорений, которые две произвольные материальные точки Л и В сообщают друг другу, постоянно. Другими словами, это отношение будет одним и тем же, каковы бы ни были физические условия возникновения ускорений, будь то наэлектризованность, взаимное давление, ньютоновское действие и т. д.

Вследствие этого мы можем выразить отношение ускорения точки В к ускорению точки А при помощи дроби, числителем которой является произвольно выбранная величина, которую мы обозначим а знаменателем другая величина зависящая только от природы точек А к В.

Таким образом, имеем

Если теперь, сохраняя точку А, возьмем вместо точки В другую материальную точку С, то мы сможем опять выразить отношение ускорений точек С и А дробью, числитель которой есть уже избранная величина , а знаменатель другое число характеризуемое совокупностью точек А и С. Имеем, таким образом, ускорение точки ускорение точки

То же самое справедливо для всех точек к точке А. Для каждой из них будет свой знаменатель

Образуем таблицу величин полученных, как мы сейчас говорили:

Эта таблица позволяет нам ответить на следующий вопрос. К точке А присоединена какая-нибудь точка К; требуется найти отношение ускорений, которые они сообщают друг другу. Для этого следует только написать

Однако составленная таблица может служить для решения проблемы значительно более общего вида, благодаря следующему предложению, которое дополняет третий закон.

Отношение ускорений, которые две произвольные материальные точки сообщают друг другу, равно отношению ускорений точки Р и какой-нибудь другой точки, например А, деленному на отношение ускорений точек , т. е.

Следовательно, таблица величин позволяет нам ответить на следующий вопрос: каково отношение ускорений двух произвольных материальных точек? Это отношение равно обратному отношению соответствующих величин таблицы. (Можно заметить аналогию между свойствами этой таблицы и свойствами таблицы химических эквивалентов.)

Величины называются массами точек

Подведем итоги сказанному. Отношение масс двух точек равно, по определению, обратному отношению ускорений, которые эти точки друг другу сообщают. Если численное значение одной из масс выбрать произвольно, то численные значения всех остальных масс станут вполне определенными.

Четвертый основной закон. Ускорение, сообщаемое произвольной материальной точке М совокупностью нескольких материальных систем получается сложением по правилам сложения векторов ускорений, которые сообщили бы точке М каждая из систем; если бы она действовала отдельно.

Все это будет строго верным лишь для абсолютных движений относительно указанных выше неподвижных осей. Однако только в астрономии и в некоторых исключительных опытах (например, в маятнике Фуко) приходится действительно пользоваться указанными осями. В огромном большинстве случаев в качестве неподвижных осей можно принимать оси, связанные с Землей. Как показывают наблюдения, в согласии с теорией относительных движений никаких заметных неточностей при этом не получается.

66. Силы.

Слово сила не входит в основные законы динамики, которые мы только что указали. В действительности, можно обойтись, и без него. Предметом динамики является следующее: «Зная движения, которые происходят при некоторых заданных условиях, определить, какими они будут при других заданных условиях». В эту задачу входят только тела и движения и нет необходимости вводить сюда третьи элементы.

Рис. 53.

Тем не менее представляется удобным, с точки зрения краткости, условиться о следующем. Если какая-нибудь точка М массы вследствие присутствия одной или нескольких других материальных точек, испытывает ускорение то мы будем условно говорить, что точка М подвергается со стороны этой одной или этих нескольких материальных точек действию силы, равной по величине и направлению Этот вектор и есть, по определению, сила, действующая на точку М. Если обозначить ее через то (рис. 53). Мы видим, что сила есть понятие производное, определяемое при помощи других величин. Вектор силы есть вектор полярный, так же, как и ускорение.

67. Закон равенства действия и противодействия.

Ньютон под названием начала равенства действия и противодействия провозгласил следующий закон. Если точка М подвергается действию силы вызванной присутствием другой точки М, то эта сила направлена по а вторая точка М подвергается со стороны точки М. действию силы, равной и прямо противоположной силе Ньютон выразил это, говоря, что противодействие равно и противоположно действию. Это начало уже содержится неявно в данных выше, законах. В самом деле, если точка М массы подвергается действию

силы то это означает, что она имеет ускорение У, равное геометрически Согласно второму основному закону точка М испытывает ускорение, направленное в противоположную сторону и определяемое соотношением

т. е. эта точка подвержена действию силы равной и прямо противоположной силе Это и есть закон Ньютона.

Закон равенства действия и противодействия непосредственно распространяется на взаимное действие двух произвольных систем точек и

Если точки системы (5) действуют на точки системы некоторыми силами, то и наоборот, точки оказывают действие на выражаемое силами, равными и прямо противоположными первым.

Рис. 54.

Так, например, если рукой давить на стену, то со стороны стены рука будет испытывать противодействие, выражаемое силой, равной и противоположной давлению руки. Когда лошадь тянет экипаж, то действие постромок на экипаж равно и противоположно действию экипажа на постромки и т. д.

68. Сложение сил. Равнодействующая.

Четвертый закон приводит непосредственно к правилу сложения сил.

Допустим, что система действуя одна на материальную точку М, сообщает ей ускорение Следовательно, она действует на точку с силой (рис. 54), определяемой векторным равенством

Точно так же вторая система действуя одна, сообщает точке М при том же положении и той же скорости ускорение У, и действует на нее с силой

и т. д. и, наконец, система действуя одна, сообщает точке М ускорение и действует на нее с силой

Если все эти силы будут приложены к точке М одновременно, то при тех же условиях они сообщат ей ускорение У, равное геометрической сумме ускорений

Сила которая одна сообщает точке такое же ускорение (рис. 54), будет

и, следовательно,

Эта единственная сила называемая равнодействующей данных: сил представляется результирующим вектором системы векторов

Таким образом, к сложению и разложению сил можно применить все, что было сказано о сложении и разложении сходящихся векторов.

69. Уравнения движения.

Допустим, что на точку М массы действуют силы, представляемые в момент векторами Обозначим через х, у, z координаты точки М, а через проекции сил на оси координат. Проекции X, Y, Z равнодействующей будут

а проекции ускорения

Следовательно, векторное равенство после проектирования на оси приводится к соотношениям

которые являются уравнениями движения.

В наиболее общем случае, который может представиться, равнодействующая зависит от положения точки, т. е. от ее координат х, у, z, от скорости точки, т. е. от и от времени. В этом случае имеем

и два аналогичных выражения для и Для того чтобы найти движение точки под действием заданных сил, нужно проинтегрировать уравнения движения, которые являются дифференциальными уравнениями второго порядка, определяющими х, у, z в функции

Мы ограничиваемся здесь только указанием этой задачи. Подробно она будет рассмотрена в начале динамики.

70. Равновесие.

Несколько сил находятся в равновесии, если, будучи приложены к точке, находящейся в покое, они не сообщат ей никакого движения. Геометрическая сумма ускорений, вызываемых этими силами, равна нулю. Следовательно, геометрическая сумма

этих сил, т. е. их равнодействующая, тоже равна нулю. Это условие, необходимое для равновесия, будет, очевидно, и достаточным.

Вообще, материальная система находится в равновесии, если, будучи в покое, она не получит никакого движения от сил, которые на нее подействуют.

71. Статика. Динамика.

Та часть механики, где изучаются условия, которым должны удовлетворять действующие на систему точек силы, для того чтобы система находилась в равновесии, называется статикой. Та часть механики, где изучаются соотношения между силами и вызываемыми ими движениями, называется динамикой.

Мы начнем с изучения статики, которая является не чем иным, как особого вида геометрией. После этого мы будем изучать динамику. Этот порядок оправдывается теми соображениями, что благодаря принципу Даламбера составление уравнений какой-нибудь задачи динамики может быть приведено к решению задачи статики.

С исторической точки зрения статика является наиболее древней частью механики. Действительно, статика восходит еще к Архимеду, установившему в своем труде De cequiponderantibus принцип рычага. Что же касается динамики, то ее возникновение стало возможным лишь после открытий Галилея.