236. Масса планеты, обладающей спутником.
Полученная нами формула
позволяет, как показал Ньютон, вычислить массу планеты, обладающей спутником.
Пусть 
массы планеты Р и ее спутника 
(рис. 149).
Рис. 149.
Силы 
— действия Солнца и других планет на рассматриваемую планету и ее спутник — почти параллельны и пропорциональны массам, так как расстояние 
от планеты до ее спутника очень мало по сравнению с расстояниями от этой же планеты до других тел солнечной системы. Поэтому если мы обозначим через X, Y, Z проекции сил притяжения этими другими телами единицы массы планеты, то уравнения движения планеты и ее спутника будут:
и
Перенесем оси параллельно самим себе в точку Р и пусть 
- новые координаты спутника 
:
После сокращения на множители 
мы получим, вычитая уравнения (Р) из уравнений 
три уравнения относительного
движения
в которых силы 
исчезли.
Из уравнений 
видно, что спутник описывает вокруг планеты эллипс так, как если бы эта планета была неподвижной и притягивала свой спутник с силой 
Если обозначить через их большую полуось орбиты спутника, а через 
его период обращения, то получим
Так как, с другой стороны, для самой планеты
то, деля эти равенства почленно друг на друга, получим
Если масса спутника очень мала по сравнению с массой планеты, то отношение 
почти равно единице и мы приближенно имеем
что позволяет вычислить отношение массы планеты к массе Солнца.
При выводе последней формулы мы предположили, что масса 
очень мала по сравнению с массой т. Этого нельзя сделать, если мы пожелаем применить наши вычисления к системе, образованной Землей и Луной. В этом случае прибегают к другому приему. Формула
справедлива всегда. С другой стороны, если на поверхности Земли
взять материальную точку с массой, равной 1, то можно будет определить, как мы это покажем впоследствии, силу притяжения А этой точки Землею. Известно, что если считать Землю сферической и состоящей из однородных концентрических слоев, то ее притяжение будет равно притяжению материальной точки массы 
находящейся в центре Земли. Другими словами, для силы притяжения имеем
где 
— радиус Земли. Исключая 
из равенств (1) и (2), находим искомое соотношение
По вопросу об определении масс небесных тел мы отсылаем к заметке Тиссерана, опубликованной в l’Annuaire du Bureau des Longitudes за 1894.
