303. Центральная сила — функция расстояния.
Мы видели (п. 296), что если начало координат взять в центре сил и если силовая функция равна 
то в полярных координатах 
функция Н будет иметь вид
Применим метод Якоби. Уравнение, определяющее 
для которого требуется найти полный интеграл, будет следующего вида:
Так как в это уравнение не входит явно 
, то будем искать интеграл в виде
где 
зависит только от 
Тогда нужно, чтобы эта функция 
удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению
откуда находим
Следовательно, полный интеграл уравнения Якоби для 
имеет вид
и конечные уравнения движения будут
Первое уравнение определяет траекторию, а второе — время, необходимое точке для достижения заданного положения на этой кривой.
Значения 
если это понадобится, найдутся из равенств:
Последнее уравнение показывает, что а есть не что иное, как постоянная площадей, так как 
равно 
Из теоремы кинетической энергии мы знаем, что Н должно оставаться постоянным в течение всего времени движения. Мы можем проверить это предложение, воспользовавшись полученными сейчас формулами. Действительно, если мы в выражении
заменим переменные 
их значениями, то получим
что и подтверждает, что А действительно является постоянной интеграла кинетической энергии, как мы это доказали ранее.
Рис. 177.
Траектории, получающиеся при изменении и, что равносильно вращению одной из них вокруг полюса, ортогональны к кривым 
эти кривые также получаются вращением какой-нибудь одной вокруг полюса.
