Главная > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

1. Центральные силы

222. Уравнения движения.

Сила называется центральной, если ее направление все время проходит через неподвижную точку. Эта точка называется центром силы. Примем центр силы за начало координат и условимся обозначать через абсолютное значение силы, взятое со знаком + или — в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей или притягивающей. Мы видели ранее (п. 203), что в случае действия центральной силы траектория точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Эта плоскость определяется начальным положением и начальной скоростью дчижущейся точки. Если начальная скорость направлена по радиусу-вектору, то плоскость эта становится неопределенной, но тогда движение будет прямолинейным и будет происходить по радиусу-вектору. Возьмем плоскость траектории за плоскость Тогда проекции силы, согласно принятому условию относительно знака будут Мы можем воспользоваться общими уравнениями плоского движения; однако проще исходить из уравнений, получаемых по закону площадей и по теореме кинетической энергии.

Интеграл площадей

если пользоваться полярными координатами, может быть написан следующим образом:

Мы видим, что С есть момент начальной скорости относительно оси Oz. Пусть — начальная скорость и — расстояние до нее от начала. Тогда абсолютное значение постоянной С равно при этом нужно взять знак или — в зависимости от того, будет ли происходить движение в сторону положительного или отрицательного вращения вокруг оси Пусть — координаты точки

угол между начальной скоростью и продолжением (рис. 144). Имеем

и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет

Если условиться считать угол положительным от продолжения радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком . Эта постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей или . В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.

Рис. 144.

Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим

Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения в функции времени.

Скорость имеет выражение

При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить или после чего получаем:

или

если заменить через

Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния . Тогда задача приведется к квадратурам, так как будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим в функции подставляя это значение в уравнения (3) и (4), найдем при помощи квадратур.

Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя его значениями (3) и (4) в уравнении кинетической

энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде

мы получим

выполнив дифференцирование и разделив на найдем

что мы представим в виде

Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила, действующая на точку, была увеличена на Это же уравнение определяет в функции когда зависит только от или от

Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в виде мы получим

Выполним дифференцирование и заменим производную ее значением разделив затем на мы получим следующую формулу, установленную Бине:

Это уравнение может служить для определения в функции , т. е. для нахождения уравнения траектории, если зависит только от или же и от и от . Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом деле, как известно, величина отрицательна или положительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба.

1
Оглавление
email@scask.ru