ГЛАВА XI. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ СИЛЫ. ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ

1. Центральные силы

222. Уравнения движения.

Сила называется центральной, если ее направление все время проходит через неподвижную точку. Эта точка называется центром силы. Примем центр силы за начало координат и условимся обозначать через абсолютное значение силы, взятое со знаком + или — в зависимости от того, будет ли сила отталкивающей или притягивающей. Мы видели ранее (п. 203), что в случае действия центральной силы траектория точки является плоской кривой, плоскость которой проходит через центр силы. Эта плоскость определяется начальным положением и начальной скоростью дчижущейся точки. Если начальная скорость направлена по радиусу-вектору, то плоскость эта становится неопределенной, но тогда движение будет прямолинейным и будет происходить по радиусу-вектору. Возьмем плоскость траектории за плоскость Тогда проекции силы, согласно принятому условию относительно знака будут Мы можем воспользоваться общими уравнениями плоского движения; однако проще исходить из уравнений, получаемых по закону площадей и по теореме кинетической энергии.

Интеграл площадей

если пользоваться полярными координатами, может быть написан следующим образом:

Мы видим, что С есть момент начальной скорости относительно оси Oz. Пусть — начальная скорость и — расстояние до нее от начала. Тогда абсолютное значение постоянной С равно при этом нужно взять знак или — в зависимости от того, будет ли происходить движение в сторону положительного или отрицательного вращения вокруг оси Пусть — координаты точки

угол между начальной скоростью и продолжением (рис. 144). Имеем

и поэтому абсолютное значение постоянной площадей будет

Если условиться считать угол положительным от продолжения радиуса-вектора в сторону положительных вращений, то это равенство будет справедливо и по знаку, так как считаются положительными, и знак постоянной С совпадает со знаком . Эта постоянная С может обратиться в нуль только тогда, когда нулю равен один из множителей или . В последнем случае движение будет происходить по радиусу-вектору.

Рис. 144.

Применим теперь теорему кинетической энергии. Получим

Уравнения (1) и (2) вполне определяют движение. Они служат для нахождения в функции времени.

Скорость имеет выражение

При помощи равенства (1) из этого выражения можно исключить или после чего получаем:

или

если заменить через

Наиболее простой случай будет тогда, когда сила зависит только от расстояния . Тогда задача приведется к квадратурам, так как будет полным дифференциалом и из уравнения (2) получим в функции подставляя это значение в уравнения (3) и (4), найдем при помощи квадратур.

Вернемся к общему случаю. Мы можем получить еще два важных уравнения, заменяя его значениями (3) и (4) в уравнении кинетической

энергии. Взяв сначала равенство (3) и написав уравнение кинетической энергии в виде

мы получим

выполнив дифференцирование и разделив на найдем

что мы представим в виде

Это уравнение определяет относительное движение точки по радиусу-вектору. Оно показывает, что движение происходит так, как если бы радиус-вектор был неподвижен, а сила, действующая на точку, была увеличена на Это же уравнение определяет в функции когда зависит только от или от

Используем теперь для подстановки в уравнение кинетической энергии выражение (4). Написав уравнение кинетической энергии в виде мы получим

Выполним дифференцирование и заменим производную ее значением разделив затем на мы получим следующую формулу, установленную Бине:

Это уравнение может служить для определения в функции , т. е. для нахождения уравнения траектории, если зависит только от или же и от и от . Знаки обеих частей уравнения (6) показывают, что сила всегда направлена в сторону вогнутости траектории; в самом деле, как известно, величина отрицательна или положительна в зависимости от того, будет или не будет траектория обращена к полюсу своей выпуклостью. Если в каком-нибудь положении движущейся точки сила равна нулю, то в этом положении траектория имеет точку перегиба.