225. Обратная задача. Определение центральной силы, когда задана траектория.

Поставим себе следующую задачу.

Точка описывает плоскую траекторию по закону площадей относительно некоторого неподвижного центра. Найти силу, вызывающую это движение. Прежде всего, эта сила — центральная. В самом деле, примем неподвижную точку за начало; тогда по закону площадей имеем уравнение

откуда, дифференцируя, получим

Это уравнение показывает, что ускорение, а следовательно, и сила все время проходят через начало. Пусть — алгебраическое

значение силы. Тогда на основании равенства (6)

По условию известно уравнение траектории которое определяет у в функции Следовательно, получаем

Если на характер силы заранее не налагается никаких ограничений, то задача представляет неопределенность, так как и 0 связаны заданным уравнением, вследствие чего можно преобразовать бесчисленным множеством способов выражение для Можно, и это обычно требуется, выразить в функции одного только для чего нужно исключить 0 из предыдущего уравнения и из уравнения траектории.

Примеры. 1°. Рассмотрим случай конического сечения, описываемого по закону площадей относительно фокуса и обращенного к этому фокусу вогнутостью. Приняв фокус за полюс, имеем уравнение конического сечения

где — параметр не — эксцентриситет. Отсюда находим

Следовательно, сила является притягивающей, изменяющейся обратно пропорционально квадрату расстояния.

2. Если ту же задачу рассматривать для ветви гиперболы, обращенной выпуклостью к фокусу, так что ее уравнение имеет вид

то

Таким образом, для силы получается тот же закон, но она будет отталкивающей.

3°. Большинство встречающихся в подобных задачах кривых заключено в уравнении

где — постоянные. Если предположить, что эти кривые описываются по закону площадей относительно начала, то для силы, выраженной

в функции получится

(Частные случаи: при имеем конические сечения с фокусом в полюсе; при имеем конические сечения с фокусом в центре; при имеем улитку Паскаля; при имеем лемнискату,