152. Ось стержня была первоначально дугой окружности.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда ось стержня была первоначально дугой окружности или прямой, так что Пусть к концам стержня приложены две силы лежащие в плоскости его изогнутой оси при равновесии, и две пары с моментами, перпендикулярными к этой плоскости.

Обе силы равны и противоположно направлены, так как единственными действующими на стержень внешними силами, сумма проекций которых на произвольное направление должна равняться нулю, являются силы и пары

Рис. 104.

С другой стороны, так как сумма моментов внешних сил относительно любой точки плоскости равняется нулю, то силы составляют пару, которая уравновешивает пары

Примем за ось (рис. 104) прямую, параллельную силам Пусть М — произвольная точка оси стержня. Если стержень разрезать в точке М, то часть будет находиться в равновесии под

действием следующих внешних сил: 1) силы и пары действующих на конце ; 2) силы Т и пары действующих в точке М. Пара имеет момент

Эти внешние силы, приложенные к дуге уравновешиваются. Следовательно, сила Т равна по величине силе но направлена противоположно ей. С другой стороны, сумма моментов всех внешних сил относительно любой точки плоскости должна равняться нулю. Возьмем сумму моментов относительно точки О; тогда, обозначая через ординаты точек М и имеем

или, заменяя Т через и его значением (1), получим уравнение

Если сила равна нулю, т. е. если к концам стержня прикладываются только пары, то из этого уравнения получаем для постоянное значение, и фигура вынужденного равновесия будет другой дугой окружности.

Оставляя этот случай в стороне, разрешим уравнение относительно и в получившейся правой части вынесем в качестве множителя за скобки. Получим уравнение вида

где через обозначена положительная постоянная и через — другая постоянная. Ось всегда можно переместить параллельно самой себе так, чтобы последняя постоянная исчезла и чтобы уравнение равновесия приняло вид

Таким образом, получено дифференциальное уравнение кривой, форму которой примет ось стержня. Для интегрирования этого уравнения обозначим чере угол, образованный нормалью в точке М с осью (рис. 104); если точка М переместится на то нормаль повернется на угол и мы получим

откуда, дифференцируя, получим

так как

Умножим обе части уравнения (3) на и проинтегрируем. Получим

где — произвольная постоянная. Теперь находим

откуда

Здесь нет необходимости добавлять постоянную, так как всегда можно в качестве оси выбрать нормаль к кривой, перпендикулярную к оси . С другой стороны, имеем

Формулы (5) и (6) определяют х и у в функции 6. Здесь нужно различать три случая в зависимости от того, будет ли лежать внутри промежутка или будет больше 1, или равняться 1.

Укажем вкратце форму кривой в этих трех случаях. Анализ будет основываться на следующих замечаниях.

Условимся отсчитывать дугу кривой от точки А, лежащей на оси Оу (рис. 104), и примем в качестве положительного направления для направление движения точки, абсцисса которой, будучи в начале равна нулю, становится положительной. Когда кривая описывается в этом направлении, всегда возрастает; следовательно, всегда положительно и в формуле (4) радикал всегда имеет тот же знак, что и Этот знак радикала должен быть сохранен во всех последующих формулах. Из формул

видно, что при возрастании координаты у и х возрастают или убывают в зависимости от того, положительны или отрицательны величины — Наконец, точками перегиба являются те точки кривой, в которых она пересекает ось х, так как уравнение (2) показывает, что обращается в бесконечность при и наоборот.

Ось является осью симметрии кривой.

Первый случай . В этом случае можно положить , и радикал, содержащийся в формулах, принимает вид

Для того чтобы он был вещественным, необходимо, чтобы , начиная от нуля, изменялось между Когда изменяется от 0 до а, получается дуга (рис. 104, а; рис. 105, а, б, в); когда 0 изменяется от 0 до , получается симметричная дуга

Рис. 105.

В точках В к В кривая пересекает ось под углом , так как нормаль в точке, например, В образует с осью угол а. Абсцисса точки В на основании формулы (5) будет

где радикал берется положительный.

Когда угол — острый или прямой, величина получается положительной, так как все элементы интеграла положительны (кривая на рис. 105, а); когда а возрастает, начиная от величина будет сначала положительной (форма на рис. 104, а), затем обратится в нуль при некотором значении величины а (форма на рис. 105, б) и после этого становится отрицательной (форма на рис. 105, в); когда а близко к , тогда отрицателен и очень велик; это вытекает из того, что при получается действительно, тогда

а этот интеграл равен . В предельном случае, когда кривая будет иметь форму, указанную на рис. 105, г с асимптотой

Если продолжает возрастать, начиная от точки В, то угол будет обязательно убывать, так как он не может быть больше о. Начиная с этого

момента, нужно будет перед радикалом брать знак минус. Когда 0 изменяется от а до —а, получается новая ветвь кривой, симметричная первой относительно В, и т. д. Получается бесконечное число одинаковых волнообразных линий, как в синусоиде.

Второй случай. Если то 0 может изменяться от 0 до никогда не обращаются в нуль; кривая имеет вид, указанный на рис. 104, б.

Интегрирование в этих двух случаях может быть выполнено в эллиптических функциях (см. Аппелль и Лякур, Principes de la theorie des fonctions elliptiques, приложения).

Третий случай. В промежуточном случае, когда кривая, как мы уже говорили, будет иметь асимптотой ось так как (рис. 105, г). В этом случае все интегрирования могут быть выполнены в элементарных функциях.