238. Геометрический метод.

Для определения положения планеты на ее орбите в момент времени можно применить геометрический метод, который указывает смысл введенных выше переменных. Известно, что эллипс можно рассматривать как проекцию описанного круга, который нужно повернуть вокруг большой оси на угол, косинус которого равен Пусть М — точка эллипса и М — соответствующая точка описанного круга (рис. 151). Тогда

Рис. 151.

Угол есть угол названный ранее истинной аномалией, а угол равен эксцентрической аномалии и. В самом деле, площадь сектора равна

т. е.

и, следовательно,

Площадь этого сектора пропорциональна времени, затрачиваемому на то, чтобы описать ее. Следовательно, если обозначить через это время, а через Т период обращения, то должно быть

Заменяя его значением, получим

откуда

Полагая мы придем к уравнению Кеплера

Для нахождения геометрического смысла средней аномалии вообразим движущуюся точку, выходящую из А одновременно с планетой и пробегающую описанную окружность равномерно, причем так, чтобы прийти в А одновременно с планетой. К моменту эта точка будет в угол будет средней аномалией. В самом деле,

Этот угол С меньше угла и, если и положителен (рис. 151). Что касается выражения в функции то оно получается из того, что отношение расстояний от точки эллипса до фокуса и до соответствуюшей директрисы равно . Следовательно, имеем

так как расстояние от центра до директрисы равно