191. Равновесие тел с трением.

1°. Одна точка касания. Рассмотрим тело S, положенное на другое тело с которым оно соприкасается по очень малой части поверхности. Мы будем предполагать последнюю приведенной к одной точке А. Реакция тела S на тело 5 складывается из нормальной реакции и касательной реакции (рис. 124), направление которой неизвестно и максимум которой равен Угол между и будет, следовательно, меньше угла трения Для того чтобы тело S было в равновесии, необходимо, чтобы существовало равновесие между непосредственно приложенными к телу S силами и реакцией или чтобы силы, приложенные к телу, имели одну равнодействующую, равную и прямо противоположную силе т. е. а) проходящую через точку А, б) направленную так, чтобы прижимать тело к телу S и в) образующую с нормалью угол, меньший, чем угол трения.

Рис. 124.

Эти необходимые условия достаточны, так как если они выполнены, то можно предположить, что равнодействующая непосредственно приложенных сил перенесена в точку А и разложена на две силы: на нормальную силу Р и на касательную силу под действием

этих сил скольжения не будет, так как угол равнодействующей с нормалью меньше вследствие чего (рис. 123)

и касательная составляющая меньше, чем трение в начале движения.

Если рассматривать конус вращения С с осью описанный прямой образующей с угол то для равновесия необходимо и достаточно, чтобы силы имели равнодействующую, проходящую через А и лежащую внутри конуса С.

Из предыдущих рассуждений можно заключить также, что любая приложенная к телу сила, проходящая через точку А и образующая с нормалью угол, меньший чем е. сила, лежащая внутри конуса С, уравновешивается реакцией тела так как эту силу можно разложить так, как мы только что указали.

2°. Несколько точек касания. Вообразим тело 5, покоящееся в точках на нескольких телах с коэффициентами трения, равными соответственно и с углами трения На тело S действуют заданные силы требуется определить условия равновесия. Реакция тела на тело есть сила приложенная в точке и образующая с нормалью , угол, меньший угла трения т. е. эта сила лежит внутри конуса С, с вершиной осью и углом Для того чтобы было равновесие, необходимо и достаточно, чтобы заданные силы уравновешивались системой сил реакций удовлетворяющих предыдущим, условиям, т. е. чтобы система заданных сил была эквивалентна системе сил проходящих соответственно через точки и лежащих внутри конусов Эти последние силы все уравновешиваются реакциями поверхностей

3°. Бесконечное число точек касания. Если тело S соприкасается с некоторыми телами по площадкам конечной протяженности, то необходимо и достаточно, чтобы система сил была эквивалентна системе какого угодно числа сил, пересекающих площадки соприкосновения и образующих с нормалями в точках пересечения углы, меньшие соответствующих углов трения.

Примечание. Эти условия аналитически выражаются при помощи неравенств; поэтому в общем случае существует бесчисленное множество положений равновесия, образующих непрерывные множества.