270. Геодезические линии.

Наиболее простым будет тот случай, когда на точку, положенную на неподвижную поверхность, не действуют никакие силы. Тогда уравнение кинетической энергии оно показывает, что скорость остается постоянной. Траектория точки будет геодезической линией поверхности, так как ее соприкасающаяся плоскость должна содержать единственную действующую на точку силу — нормальную реакцию. Это следует также и из второго естественного уравнения, которое обращается в откуда вытекает так как постоянно, а условие характеризует геодезические линии. Последнее естественное уравнение позволяет вычислить нормальную реакцию Можно заметить, что в рассматриваемом случае вследствие чего и нормальная реакция имеет значение Она изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны траектории.

Общие уравнения движения приводятся теперь к виду

При помощи уравнения здесь можно исключить время, для чего достаточно в предыдущих формулах заменить через

Примечание. Если поверхность имеет прямолинейные образующие, то они будут одними из возможных траекторий, так как если точку пустить по какой-нибудь образующей, то она будет продолжать двигаться по ней в силу закона инерции, а реакция поверхности будет равна нулю.

Пример. Геодезические линии эллипсоиды. Приложим предыдущие результаты к эллипсоиду

Мы пишем здесь в знаменателях , чтобы те же вычисления в зависимости от знаков с давали геодезические линии эллипсоида или гиперболоида.

Уравнения движения могут быть написаны так:

Как всегда, имеем первый интеграл Для нахождения второго используем метод Дарбу. Продифференцировав два раза подряд уравнение (1), получим

или в силу уравнений (2)

Умножим теперь уравнения (2) соответственно на и сложим. Получим

Если мы разделим почленно уравнение (4) на уравнение (3), то получим

Каждый из числителей с точностью до постоянного множителя равен производной от знаменателя; следовательно, найденное уравнение можно проинтегрировать и получить

Исключая время при помощи уравнения кинетической энергии получим

Таково дифференциальное уравнение геодезических линий эллипсоида. Простая геометрическая интерпретация этого уравнения приведет к теореме, установленной Иоахимсталем: если — расстояние от центра эллипсоида до касательной плоскости в точке М геодезической линии, — длина

полудиаметра, параллельного касательной, проведенной в точке М к геодезической линии, то вдоль всей этой линии произведение постоянно. Действительно, так как направляющие косинусы касательной в точке равны то координаты конца параллельного полудиаметра будут

Написав, что эта точка принадлежит эллипсоиду, имеем

Уравнение касательной плоскости в точке М будет

расстояние от начала координат до этой плоскости определяется формулой

откуда на основании равенства (5) действительно получаем

Эта теорема применима также и к линиям кривизны эллипсоида. Действительно, мы увидим дальше, что эти линии соответствуют особым решениям уравнения (5). (Дарбу, Mecanique de Despeyroux, т. 1.)

Для завершения интеграции нужно выразить координаты точки эллипсоида через ее эллиптические координаты Тогда переменные разделятся и интегрирование приведется к квадратурам. К этому вопросу мы вернемся вновь при рассмотрении приложения метода интегрирования Якоби (глава XVI).