248. Математический маятник.

Математический маятник состоит из тяжелой материальной точки, движущейся без трения по окружности, расположенной в вертикальной плоскости (рис. 157).

Рис. 157.

Возьмем оси, указанные на чертеже, и допустим, что точка приведена в движение из самого низкого положения с начальной скоростью По теореме кинетической энергии имеем

1°. Допустим сначала, что прямая пересекает окружность в двух точках А и , т. е. что или . Тогда, как мы видели, движение будет изохронным колебанием между точками А и А. Для исследования движения примем в качестве переменной угол Имеем:

где а — угол наибольшего отклонения

В этой переменной выражение скорости будет

и уравнение кинетической энергии примет вид

Уравнение можно переписать так:

откуда

Мы взяли знак плюс, предположив, что точка поднимается. Отсчитывая время от момента, когда точка выходит из , получим

Полагая

получим далее

и

Следовательно, задача свелась к эллиптическому интегралу, и только что написанное уравнение может быть заменено следующим

т. е.

Таким образом, координаты движущейся точки выражены как однозначные функции времени.

Для нахождения времени Т, затрачиваемого точкой для перехода из в А, надо изменять 0 от 0 до а, и, следовательно, и от 0 до 1. Полагая, как обычно,

получим для Т значение и продолжительность простого колебания будет . Если эту величину добавить к то точка займет положение М, симметричное с М, и изменит свой знак, что является проверкой известной формулы

Полезно знать разложение величины Т по степеням , т. е. величины К по возрастающим степеням к. Для получения этого разложения напишем по формуле бинома

и, опираясь на легко устанавливаемую формулу

получим

и, следовательно,

Для бесконечно малых колебаний получаем, таким образом,

Для колебаний с незначительной амплитудой можно заменить углом и ограничиться только двумя первыми членами разложения. Получим

2°. Нам нужно теперь рассмотреть случай, когда прямая П не пересекает окружности, т. е. когда . Уравнение кинетической энергии может быть написано в виде

или, положив в виде

Величина меньше 1, так как а больше I. Разрешая это уравнение относительно и полагая получим

Примем, наконец, в качестве новой переменной. Тогда

т. е. Отсюда найдем

Время Т, необходимое точке для достижения наиболее высокого положения, получится при изменении 0 от 0 до или при изменении и от до 1; следовательно

3°. Остается, наконец, рассмотреть промежуточный случай, когда прямая II касается заданной окружности, т. е. когда Тогда интегрирование можно выполнить при помощи показательных функций, так как модуль предыдущих эллиптических функций делается равным 1. В самом деле, вернемся к уравнению кинетической энергии Напишем

Интегрируя, получим

Постоянная интегрирования равна нулю, так как должно обращаться в нуль одновременно с 0. Когда неограниченно возрастает, 0, возрастая, стремится к пределу движущаяся точка неограниченно приближается к наивысшему положению, никогда его не достигая. Оно является положением не устойчивого равновесия.

Вычисление реакции. Реакция в каждой точке направлена по радиусу окружности; она считается положительной в сторону центра и отрицательной в противоположном направлении. Пусть тогда алгебраическое значение; второе естественное уравнение принимает вид

так как совпадает со своей проекцией на главную нормаль. С другой стороны (рис. 157),

и радиус кривизны равен длине маятника; поэтому

Следовательно, когда точка поднимается по окружности, реакция уменьшается, и ее максимум, существенно положительный, имеет место в наиболее низкой точке. Эта реакция обращается в нуль и меняет знак в точках, в которых окружность пересекается с прямой

Если сообщить точке движение в трубке, изогнутой по окружности, то, как вытекает из изложенного выше, точка будет давить на внешнюю стенку трубки, когда реакция положительна, и на внутреннюю, когда реакция отрицательна. Чаще всего движущаяся точка связывается с неподвижной точкой при помощи гибкой нити. Когда реакция положительна, нить остается натянутой; если же после обращения в нуль реакция должна стать отрицательной, то точка будет стремиться приблизиться к центру, и нить не сможет удержать ее на окружности. Если пренебречь массой нити, то точка покинет окружность в положении где и начнет свободно перемещаться под действием веса; следовательно, она опишет параболу, касающуюся окружности в точке, где обе кривые имеют общий радиус кривизны. В самом деле, скорость точки, так же как и действующие на нее силы, с момента, когда она покидает окружность, будут изменяться непрерывно; естественное уравнение, определяющее показывает, что радиус кривизны также изменяется непрерывно, и вследствие этого обе кривые будут действительно соприкасающимися в точке К? Парабола, имеющая вертикальную ось, определяется из условия касания в рассматриваемой точке

Найдем теперь, какие условия должны дополнительно выполняться, чтобы точка или покинула окружность, или осталась на ней. Рассмотрим прямые (рис. 157). Если а отрицательно, то реакция никогда не обратится в нуль, так как прямая будет расположена над прямой П. Точка, колеблясь между А и А, никогда этой прямой не достигнет и реакция будет везде положительная. Точно так же, если больше чем I, то прямая будет вне окружности и реакция не обратится в нуль; точка будет периодически непрерывным образом описывать окружность. Следовательно реакция может обратиться в нуль, только если

или, заменяя а его значением, если

где как и выше, обозначает скорость в самой низкой точке.