Главная > Теоретическая механика. Статика. Динамика точки, Т.1
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

II. Движение планет

226. Следствия из законов Кеплера.

Во всем последующем изложении речь будет идти только о движении центра тяжести планет. Согласно теореме, которую мы докажем впоследствии, центр тяжести движется, как точка, в которой сосредоточена вся масса планеты и в которую перенесены параллельно самим себе все приложенные к планете силы.

Законы движения планет выведены Кеплером из наблюдений Тихо Браге. Эти законы следующие:

1°. Планеты описывают вокруг Солнца плоские кривые по закону площадей;

2°. Эти кривые являются эллипсами с фокусом в Солнце;

3°. Квадраты звездных времен обращения планет пропорциональны кубам больших осей их орбит.

Из этих законов Ньютон вывел закон для силы, вызывающей эти движения.

Так как траектория плоская и имеет место закон площадей относительно центра Солнца, то сила является центральной, проходящей через эту точку. Так как траектория является эллипсом с фокусом в Солнце, то сила, действующая на планету, обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца. Для этой силы мы получили выражение («ервый пример предыдущего пункта)

где С — постоянная площадей, а параметр конического сечения.

Полагая можно написать

Последний закон Кеплера показывает, что не зависит от рассматриваемой планеты. В самом деле, постоянная площадей С равна удвоенному отношению площади, описанной радиусом-вектором, к затраченному на это времени; если Т — продолжительность обращения, то радиус-вектор описывает за время Т площадь следовательно,

Так как равно то для получаем выражение

По закону, о котором мы говорили, отношение будет одинаковым для всех планет; поэтому сила для любой планеты будет

Итак, каждая планета притягивается к центру Солнца силой, пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца.

227. Прямая задача.

После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче.

Найти движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Центральная сила выражается формулой

По закону кинетической энергии имеем

Но по теории центральных сил [формула (4)]

Подставляя это значение в предыдущее равенство, получим

Это — дифференциальное уравнение траектории; его можно представить так:

Положим

Тогда уравнение для будет

откуда, интегрируя, найдем

Уравнение траектории принимает вид

где корень можно всегда предполагать положительным, так как, если бы он был отрицательным, то, прибавляя к произвольной постоянной а, мы сделаем его положительным. Получилось уравнение конического сечения, имеющего фокус в полюсе. Действительно, известно, что общее уравнение конических сечений с полюсом в фокусе есть

где — параметр, а эксцентриситет. Сравнивая два последних уравнения, найдем

что уже было установлено ранее, и

и, наконец, подставляя сюда значение получим

Это выражение определяет вид конического сечения, который зависит только от знака постоянной кинетической энергии.

Если отрицательно, то траектория есть эллипс, так как Если равно нулю или положительно, то траектория — парабола или гипербола. Значение постоянной кинетической энергии равно

Оно зависит только от численного значения начальной, скорости, но не от ее направления. Следовательно, если при определенных начальных условиях траектория есть эллипс, то она останется эллипсом, если движущуюся точку бросить из того же положения и с той же скоростью, но в любом другом направлении.

Вычисления, которые мы произвели, содержат неявно и случай отталкивания. Для исследования этого случая достаточно во всех формулах считать отрицательным. При этом условии постоянная будет обязательно положительной и всегда будет получаться ветвь гиперболы. Эта ветвь гиперболы обращена своей выпуклостью к началу, так как сила направлена в сторону вогнутости траектории.

Займемся случаем эллипса, полагая и выразим элементы траектории через начальные значения переменных. Мы нашли

откуда

или, вводя полуоси эллипса,

Это последнее соотношение определяет большую ось эллипса, которая зависит только от постоянной уравнения кинетической энергии. После этого малая ось определится формулой

Вычислив таким образом большую полуось а, можно легко построить эллипс, зная начальное положение и начальную скорость Для этого нужно взять точку Р, симметричную фокусу относительно касательной соединить точку Р с точкой и отложить на прямой длину ; точка О будет вторым фокусом эллипса.

1
Оглавление
email@scask.ru