II. Движение планет

226. Следствия из законов Кеплера.

Во всем последующем изложении речь будет идти только о движении центра тяжести планет. Согласно теореме, которую мы докажем впоследствии, центр тяжести движется, как точка, в которой сосредоточена вся масса планеты и в которую перенесены параллельно самим себе все приложенные к планете силы.

Законы движения планет выведены Кеплером из наблюдений Тихо Браге. Эти законы следующие:

1°. Планеты описывают вокруг Солнца плоские кривые по закону площадей;

2°. Эти кривые являются эллипсами с фокусом в Солнце;

3°. Квадраты звездных времен обращения планет пропорциональны кубам больших осей их орбит.

Из этих законов Ньютон вывел закон для силы, вызывающей эти движения.

Так как траектория плоская и имеет место закон площадей относительно центра Солнца, то сила является центральной, проходящей через эту точку. Так как траектория является эллипсом с фокусом в Солнце, то сила, действующая на планету, обратно пропорциональна квадрату расстояния от планеты до Солнца. Для этой силы мы получили выражение («ервый пример предыдущего пункта)

где С — постоянная площадей, а параметр конического сечения.

Полагая можно написать

Последний закон Кеплера показывает, что не зависит от рассматриваемой планеты. В самом деле, постоянная площадей С равна удвоенному отношению площади, описанной радиусом-вектором, к затраченному на это времени; если Т — продолжительность обращения, то радиус-вектор описывает за время Т площадь следовательно,

Так как равно то для получаем выражение

По закону, о котором мы говорили, отношение будет одинаковым для всех планет; поэтому сила для любой планеты будет

Итак, каждая планета притягивается к центру Солнца силой, пропорциональной массе планеты и обратно пропорциональной квадрату расстояния от планеты до Солнца.

227. Прямая задача.

После установления этого результата Ньютон обратился к следующей задаче.

Найти движение материальной точки, притягиваемой неподвижным центром с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния.

Центральная сила выражается формулой

По закону кинетической энергии имеем

Но по теории центральных сил [формула (4)]

Подставляя это значение в предыдущее равенство, получим

Это — дифференциальное уравнение траектории; его можно представить так:

Положим

Тогда уравнение для будет

откуда, интегрируя, найдем

Уравнение траектории принимает вид

где корень можно всегда предполагать положительным, так как, если бы он был отрицательным, то, прибавляя к произвольной постоянной а, мы сделаем его положительным. Получилось уравнение конического сечения, имеющего фокус в полюсе. Действительно, известно, что общее уравнение конических сечений с полюсом в фокусе есть

где — параметр, а эксцентриситет. Сравнивая два последних уравнения, найдем

что уже было установлено ранее, и

и, наконец, подставляя сюда значение получим

Это выражение определяет вид конического сечения, который зависит только от знака постоянной кинетической энергии.

Если отрицательно, то траектория есть эллипс, так как Если равно нулю или положительно, то траектория — парабола или гипербола. Значение постоянной кинетической энергии равно

Оно зависит только от численного значения начальной, скорости, но не от ее направления. Следовательно, если при определенных начальных условиях траектория есть эллипс, то она останется эллипсом, если движущуюся точку бросить из того же положения и с той же скоростью, но в любом другом направлении.

Вычисления, которые мы произвели, содержат неявно и случай отталкивания. Для исследования этого случая достаточно во всех формулах считать отрицательным. При этом условии постоянная будет обязательно положительной и всегда будет получаться ветвь гиперболы. Эта ветвь гиперболы обращена своей выпуклостью к началу, так как сила направлена в сторону вогнутости траектории.

Займемся случаем эллипса, полагая и выразим элементы траектории через начальные значения переменных. Мы нашли

откуда

или, вводя полуоси эллипса,

Это последнее соотношение определяет большую ось эллипса, которая зависит только от постоянной уравнения кинетической энергии. После этого малая ось определится формулой

Вычислив таким образом большую полуось а, можно легко построить эллипс, зная начальное положение и начальную скорость Для этого нужно взять точку Р, симметричную фокусу относительно касательной соединить точку Р с точкой и отложить на прямой длину ; точка О будет вторым фокусом эллипса.