153. Случай первоначально прямолинейного стержня, сжимаемого на концах двумя одинаковыми и прямо противоположными силами.

Наблюдения показывают, что первоначально, прямолинейный упругий стержень, к концам которого приложены две одинаковые и противоположно направленные силы Т, не изгибается до тех пор, пока значение Т не превысит некоторого предела; говорят, что тогда имеет место продольный изгиб. Когда Т меньше этого предела, единственно возможной фигурой равновесия является прямолинейная форма. Лишь при значениях Т превосходящих указанный предел, возможны изученные выше криволинейные фигуры равновесия. Найдем этот предел.

В рассматриваемом случае, так как ось стержня в естественном состоянии прямолинейна, то и из формулы (1) для пары получаем

Эта пара обращается, следовательно, в нуль одновременно с кривизной. Но мы предположили, что к обоим концам стержня приложены две силы Т, равные, противоположно направленные и не образующие пары, отсюда вытекает, что для обоих концов следовательно, эти концы являются точками перегиба, как указано на рис. 105, а. Когда стержень очень мало отклоняется от первоначальной прямолинейной формы, величина а очень мала. Она равна нулю для прямолинейной формы. Допустим, что стержень может принять волнообразную фигуру равновесия, показанную на рис. 105, а, с волнами, и определим постоянную а, зная длину стержня и сила Т на обоих концах В и Постоянная с будет тогда известна и равна Согласно выражению (4) для дуга имеет длину

Сделаем подстановку

тогда

Обозначим, для краткости, и сделаем замену переменной

Когда 0 изменяется от 0 до а, тогда и изменяется от 0 до 1 и мы имеем

где

Для всей длины стержня, равной получаем

Это уравнение, в котором неизвестно, определяет угол а. Для того чтобы фигура равновесия с волнами существовала, необходимо и достаточно, чтобы из этого уравнения получалось для значение, заключенное между 0 и 1. Но при имеем, согласно равенству (9), при возрастании интеграл К постоянно возрастает, так как возрастает подынтегральное выражение, и при интеграл К становится бесконечным. Таким образом, когда изменяется от 0 до 1, интеграл К проходит один и только один раз через любое значение, больше чем Для того чтобы уравнение (10) имело для решение, необходимо и достаточно, чтобы

Заменяя с его значением находим

Таким является условие существования фигуры равновесия с волнами. Наименьшее значение нижнего предела для Т соответствует значению Следовательно, для того чтобы существовала возможная фигура равновесия с одной волной, необходимо, чтобы

Если давление Т меньше этого предела, то единственно возможной фигурой равновесия будет прямая линия.