33. Векторные производные.

Пусть (рис. 27) - связанный вектор, приложенный в фиксированной точке О. Допустим, что этот вектор зависит от некоторой переменной и таким образом, что если и изменяется непрерывно, то и конец М перемещается также непрерывным образом. Можно тогда говорить, что этот вектор есть непрерывная функция переменной и. Пусть — векторы, соответствующие значениям и и переменной, причем Ди предполагается положительной. Соответствующее геометрическое приращение вектора есть геометрическая разность

т. е. вектор, равный Отношение этого приращения к приращению переменной есть вектор

имеющий ту же линию действия и то же направление, что и вектор

Когда А и стремится к нулю, вектор стремится к некоторому предельному вектору касательному к кривой, описываемой точкой М. Этот предельный вектор называется векторной производной вектора по .

Рис. 27.

Аналитическое определение векторной производной. Возьмем оси с началом в точке О. Координаты точки М суть проекции вектора на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости двух других осей. Величины являются функциями от .

Когда а получает приращение , то точка М переходит в получают приращения Так как вектор имеет проекции то вектор равный отношению имеет проекции

Полагая, что стремится к нулю, мы видим, что проекции производного вектора суть производные

проекций первоначального вектора.