ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА

ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ

1. Материальная точка

89. Свободная точка.

Для того чтобы свободная точка была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая приложенных к ней сил была равна нулю, т. е. чтобы проекции X, Y, Z вектора были равны нулю:

Если в каком-нибудь положении подвергнуть точку М действию силы не сообщая ей при этом никакой начальной скорости, то начальное значение может зависеть только от и Мы будем предполагать, что от оно не зависит. Тогда три уравнения (1) определяют координаты положения равновесия. Если существует силовая функция , то проекции X, Y, Z являются частными производными от и уравнения принимают вид

Это как раз те уравнения, которые необходимо разрешить при нахождении максимума и минимума функции от трех независимых переменных Мы покажем в динамике (гл. X) методом Лежен-Дирихле, что если функция действительно имеет в точке максимум, то эта точка является положением устойчивого равновесия. Это означает, что если материальную точку каким-нибудь образом отклонить бесконечно мало от положения и сообщить ей бесконечно малую начальную скорость, то она получит движение, при котором она удаляется от положения бесконечно мало.

Приближенное представление об этом можно получить следующим образом. Допустим, что в точке функция имеет максимум, значение которого равно Вблизи точки функция меньше чем и поэтому поверхность уровня будет

где — очень малая положительная величина, которая содержит замкнутую поверхность, окружающую точку и непрерывно стягивающуюся в нее, когда стремится к нулю (рис. 63, а). В каждой точке М этой поверхности сила нормальна к ней и направлена в сторону возрастания т. е. во внутрь. Она стремится, следовательно, помешать точке М удалиться от точки

Если, наоборот, в точке функция имеет минимум и теперь есть значение этого минимума, то поверхность уровня

будет по-прежнему содержать замкнутую часть, окружающую точку Теперь в каждой точке М этой поверхности сила по-прежнему нормальна к ней, но направлена наружу (рис. 63, б). Эта сила стремится, следовательно, удалить точку М от точки и равновесие в точке неустойчиво.

Рис. 63.

Допустим, наконец, что в положении три уравнения (2) удовлетворяются, но что соответствующее значение не является ни максимумом, ни минимумом функции Тогда в окрестности точки существуют две области А и В (рис. 63, в) такие, что в одной из них, например в А, функция принимает значения, меньшие чем а во второй В — значения, большие чем Эти две области разделяются поверхностью уровня Е, на которой

Эта, особая поверхность уровня проходящая, очевидно, через точку имеет в ней коническую точку, так как, согласно (2), в ней одновременно обращаются в нуль все три частные производные первого порядка функции Если через обозначить бесконечно малую положительную величину, то поверхности уровня

расположены в области этой области силы стремятся вернуть движущуюся точку в положение Поверхности же

находятся в области В и в этой области силы стремятся удалить движущуюся точку от точки так как они направлены в сторону возрастания Следовательно, положение равновесия неустойчиво.

Этот последний случай представляется для точки, притягиваемой к двум неподвижным центрам силами, обратно пропорциональными квадратам расстояний, что подробно рассматривается в теории притяжения.