105. Координаты центра тяжести.

Пусть — массы материальных точек, составляющих твердое тело, — их веса, — координаты этих точек, а Р и М — вес и масса всего тела. Имеем

Если обозначить через координаты центра тяжести, то их можно определить по формулам для центра параллельных сил

или, короче,

Отсюда видно, что положение центра тяжести в теле обычных размеров зависит только от масс точек.

Это заключение очень важно, так как оно позволяет распространить понятие центра тяжести на системы невесомые. А именно, в некоторых вопросах, относящихся к материальным. точкам с массами не связанных неизменно между собой, полезно ввести точку, координаты которой определяются предыдущими формулами. Эту точку, которую Эйлер предложил называть центром инерции продолжают часто называть центром тяжести, несмотря на то, что соображения, приводящие к понятию центра тяжести, не применимы к рассматриваемым вопросам. Центр инерции расположен, очевидно, внутри любой выпуклой поверхности, окружающей рассматриваемые точки примечание II).

Разница между центром инерции и центром тяжести для тел больших размеров изучена Лильесштрёмом (Comptes Rendus, т. 162, 1916, стр. 155).

Если известны центры тяжести двух частей тела с массами и то можно найти сразу центр тяжести всего тела, так как он является центром параллельных сил приложенных в точках Вообще, если известны центры тяжести и массы нескольких частей тела, то центр тяжести всего тела есть центр параллельных сил приложенных в точках Обозначая через координаты

центров тяжести этих различных частей, получим для координат центра тяжести тела следующие формулы:

Когда желают определить центр тяжести произвольного тела заданной формы, например какой-нибудь металлической массы, то нужно применить полученные формулы к телу, образованному очень большим числом материальных точек, расположенных на очень малых взаимных расстояниях. Этой трудности можно избежать, рассматривая тело как непрерывное, что не соответствует действительности, но дает вполне достаточное для приложений приближение. Мы отсылаем читателя, желающего получить более подробное представление о законности такой замены заданного тела сплошным, к главе VI Механики Пуассона, относящейся к теории притяжения тел. Уподобляя таким образом твердое тело некоторому сплошному объему, мы предполагаем его разложенным на бесконечно большое число бесконечно малых частей и помещаем центр тяжести каждой из таких частей в какой-нибудь точке ее массы. Тогда формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, разбитого на части с массами сохраняются при условии замены сумм, входящих в числители и знаменатели, тройными интегралами. Если тело имеет очень малую толщину по сравнению с другими своими измерениями, то его уподобляют поверхности. Таким является, например, очень тонкий лист бумаги или металла. Точно так же имеются случаи, когда тело можно рассматривать как линию; таким является случай длинной и тонкой нити.

Мы укажем в конце главы некоторые формулы для определения центров инерции линий, поверхностей и объемов.