255. Брахистохроны в общем случае.

Рассмотрим точку, находящуюся под действием силы имеющей силовую функцию . Найдем кривую С, которою нужно соединить две точки А к В для того, чтобы точка, двигающаяся по этой кривой и вышедшая из А с заданной начальной скоростью пришла в В за наиболее короткий промежуток времени (рис. 161). Эта кривая С является брахистохроной для заданного закона силы. Обозначая

через координаты точки А, имеем по теореме кинетической энергии

или. полагая

имеем

Таков будет интеграл, который требуется обратить в минимум. Он принадлежит к общему типу, изученному в главе VII, § III, если в последнем положить

Согласно тому, что мы получили в главе VII для кривых, обращающих в минимум интеграл

искомая кривая является фигурой равновесия гибкой нити под действием силы с проекциями

причем натяжение нити равно

Получаемые таким путем уравнения даны Рожером (Journal de Liou-ville, 1848).

Известно, что задачу можно свести к квадратурам, если фиктивная сила а следовательно, и сила являются зависящими от расстояния силами притяжения неподвижной точкой, или прямой, или плоскостью.

Теорема Эйлера. При движении по брахистохроне нормальная реакция направлена по главной нормали; она равна по модулю и противоположна по направлению удвоенной нормальной составляющей действующей силы.

В самом деле, будем рассматривать кривую как фигуру равновесия нити. Составляющие фиктивной силы действующей на нить, которою мы, по предположению, заменяем кривую, будут:

а натяжение нити будет

С другой стороны, сила, фактически действующая на движущуюся точку, имеет проекции

Естественные уравнения равновесия нити здесь имеют вид

Так как проекции силы на декортовы оси равны проекциям силы Р умноженным на то так же будут преобразовываться и проекции на нормаль и бинормаль. Следовательно,

откуда

или, на основании теоремы кинетической энергии,

Возьмем теперь естественные уравнения движения. Имеем

или, принимая во внимание равенства (1) и (2),

Эти два равенства и доказывают высказанное предложение, которое мы уже проверили для циклоиды (п. 250). По поводу этой теоремы можно указать на статью Андуайе (Comptes rendus, т. С).

Гатон де ля Гупийер дополнил исследование брахистохрон, разобрав случай одновременного действия сил, зависящих от скорости, и сил трения и разрешив обратную брахистохронам задачу (Memoires de l’Academie, т. XXVII и XXVIII).