210. Уравнение прямолинейного движения. Простые случаи интегрируемости.

Возьмем частный случай, когда движение прямолинейно, и примем прямую, описываемую точкой, за ось Уравнение движения будет

Наиболее общим случаем будет тот, когда X одновременно зависит от . В этом случае

так как алгебраическое значение скорости есть . Это — дифференциальное уравнение второго порядка, позволяющее определить х в функции Общий интеграл содержит две произвольные постоянные:

Эти постоянные определяются из начальных условий:

Может случиться, что аналитическое выражение силы изменяется в зависимости от положения точки или направления скорости. Пример такого рода встретится в упражнениии 4 п. 211.

Интегрирование дифференциального уравнения (1) приводится к квадратурам, когда X содержит только одну из величин . Сила зависит только от положения. Пусть сначала

Умножая обе части на получим

и, интегрируя, найдем

Это уравнение представляет собой не что иное, как уравнение кинетической энергии, примененное к рассматриваемому частному случаю. Для определения постоянной положим что даст для h значение Если выполнить вышеуказанную квадратуру, то получатся уравнения вида

Здесь нет никакой неопределенности в выборе знака, так как при должно быть . Следовательно, перед радикалом нужно ставить тот знак, какой имеет Если равно нулю, то движение будет происходить в сторону силы, что опять определяет знак радикала. Тогда можно написать

Это уравнение, разрешенное относительно х, выражает закон расстояния; непосредственно оно выражает время, необходимое для перемещения на данное расстояние. Мы исследуем его более подробно дальше (п. 211, пример 6), после того, как рассмотрим несколько Простых частных случаев.

2°. Сила зависит только от скорости. Допустим теперь, что X есть функция только скорости V. Написав

и проинтегрировав, получим

Так как

Здесь x и t получились выраженными в функции вспомогательной: переменной Последнее уравнение вытекает также из теоремы кинетической энергии, так как есть элементарная работа силы и

3°. Сила зависит только от времени. Если, наконец, X есть функция только времени то имеем

Интегрируя первый раз, получим

После второго интегрирования найдем