290. Принцип наименьшего действия.
Этот принцип может быть приложен к движению точки под действием силы, имеющей силовую функцию, причем точка либо может быть свободной, либо должна скользить по неподвижной поверхности. Принцип позволяет объединить уравнения движения в одно, написав, что вариация некоторого интеграла равна нулю. Во втором томе мы укажем другие принципы, как, например, принцип Гамильтона, принцип Гаусса, которые применимы в более общих случаях. Принцип наименьшего действия был указан Мопертюи. Пример его можно найти в работе Эйлера De motu projectorum. Лаплас, Лагранж, Пуассон излагали этот принцип в форме, способной вызвать возражения. Якоби первый изложил его в строгом виде. В Sitzungsberichte Берлинской Академии (1887) можно найти интересную статью Гельмгольца по истории принципа наименьшего действия.
Свободная точка. Если свободная точка находится под действием силы, имеющей силовую функцию 
, то интеграл кинетической энергии имеет вид
В принципе наименьшего действия сравниваются лишь такие движения, для которых постоянная А имеет одинаковые значения. Таким образом, везде в дальнейшем 
является определенной постоянной. Следовательно, можн» по произволу задать начальное положение 
движущейся точки, и тогда ее начальная скорость определится по величине (но не по направлению) из второго соотношения (1). Положения движущейся точки и кривые, которые мы рассматриваем, расположены, разумеется, в области пространства, где функция
положительна.
Пусть А и В — две неподвижные точки. Тэт и Томсон называют действием вдоль кривой С, соединяющей эти две точки, интеграл
где вместо 
мы пишем 
Предполагается, что этот интеграл берется вдоль кривой С, элемент дуги которой обозначен через 
Принцип наименьшего действия может быть сформулирован следующим образом.
Кривые, соединяющие две неподвижные точки А и В и обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых к любой другой, бесконечно близкой и проходящей через те же точки, являются траекториями, которые фактически опишет материальная точка, начавшая движение из одной из этих неподвижных точек в таком направлении, что она приходит во вторую.
Можно также сказать, что если среди всех кривых, идущих от точки А к точке В, отыскивать кривые, для которых действие имеет минимум, то эти кривые среди траекторий, соединяющих точки А и В. Это следует из того, что для нахождения таких кривых нужно прежде всего приравнять нулю вариацию действия.
Чтобы доказать это предложение, заметим, что интеграл Л будет вида
где
Следовательно, чтобы получить дифференциальные уравнения кривых, которые могут обратить интеграл 
в минимум, нужно применить уравнения (3) п. 146, заменив в них у его значением (3). Таким путем мы получим для искомых кривых дифференциальное уравнение
и два аналогичных. Примем за независимую переменную величину 
определенную соотношением
Тогда дифференциальные уравнения (4) кривых, которые могут обратить интеграл 
в минимум, станут следующими:
Это — уравнения движения свободной точки, причем уравнение (5) является уравнением кинетической энергии с частным значением 
Таким образом, теорема доказана.
Итак, кривые, дающие для действия 
относительный минимум, т. е. значение, меньшее, чем вдоль всякой кривой, бесконечно близкой, нужно искать среди траекторий, идущих от А к В. Вопрос о том, дает ли найденная траектория, соединяющая две точки А и В, относительный минимум для А, в действительности не является существенным с точки зрения самого принципа. Он аналогичен вопросу, дает ли в действительности геодезическая линия,
соединяющая две фиксированные точки на заданной повзрхности, относительный минимум для расстояния двух точек на поверхности (см. Дарбу, Theorie des surfaces, ч. 3, глава V), Так как коэффициент при 
в интеграле 
положителен, то действие всегда положительно и всегда существуют кривые, идущие от А к В. вдоль которых имеет место минимум интеграла 
. Эти кривые образуются траекториями. Существует также между 
кривая, которая дает абсолютный минимум. Эта последняя кривая, обязательно составленная из дуг, дающих каждая в отдельности относительный минимум, состоит, следовательно, из дуг траекторий.
Не существует кривых, дающих для интегралов 
относительный максимум, так как если С есть произвольная дуга, проведенная между А и В, то всегда можно построить бесконечно близкую кривую С, вдоль которой действие будет больше, чем вдоль С. Для этого достаточно взять в качестве С синусоидальную кривую с бесконечно малыми амплитудами, проходящую С.
Точка на поверхности. Пусть на неподвижной поверхности 
дана точка, находящаяся под действием силы, имеющей силовую функцию 
Для нее по-прежнему имеем интеграл кинетической энергии (1). Будем сравнивать между собой движения, которые совершаются на поверхности S при одном и том же значении постоянной 
Тогда имеем следующую теорему.
Кривые, проведенные на поверхности между двумя неподвижными точками А и В и обладающие тем свойством, что вариация действия равна нулю при переходе от одной из этих кривых ко всякой другой бесконечно близкой кривой, проведенной на поверхности между теми же точками, являются траекториями движущейся точки, соединяющими эти две неподвижные точки.
Следовательно, если мы ищем кривые, идущие на поверхности от А к В, вдоль которых действие имеет минимум, то их надо выбирать среди траекторий.
Чтобы доказать это, достаточно приложить к случаю 
уравнения, которые мы дали 
для кривых, лежащих на поверхности, и обращающих 
в минимум. Эти уравнения, так же как и выше, непосредственно преобразуются в уравнения движения точки на поверхности с заданной постоянной 
кинетической энергии.
Например, если на точку не действует никакая сила 
то траекториями будут кривые, которые получатся, если искать кривые, обращающие 
в минимум интеграл 
т. е. если искать наиболее короткие линии 
на поверхности. Получатся, следовательно, геодезические линии (п. 270).
Справедливо более общее предложение, что задача отыскания траекторий на поверхности S при заданной силовой функции 
эквивалентна задаче отыскания геодезических линий на другой поверхности 
. В самом деле, представим себе вспомогательную поверхность 
на которой линейный элемент определяется равенством
где 
— линейный элемент поверхности 
Тогда нахождение траекторий на поверхности S приведется к нахождению кривых, обращающих 
в минимум, т. е. к нахождению геодезических линий на поверхности 
Если мы на минуту вернемся к случаю свободной точки, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию, то мы увидим, что на основании принципа наименьшего действия задача определения траекторий точки является распространением на случай трех переменных задачи о геодезических линиях.
Мы не станем входить в подробности этой теории, относящейся больше к геометрии, чем к механике, отсылая читателя к главам VI и VII второго тома сочинения Дарбу «Lejons sur la Theorie des surfaces».
Мы вернемся, однако, к этому принципу в аналитической механике.
УПРАЖНЕНИЯ
(см. скан)
