208. Устойчивость равновесия свободной материальной точки. Доказательство Лежен-Дирихле.

Рассмотрим свободную точку , находящуюся под действием сил, равнодействующая которых (X, Y, Z) имеет силовую функцию :

Положения равновесия точки найдутся, если приравнять нулю X, Y, Z, т. е. если искать максимумы и минимумы функции Если в заданном положении О точки функция имеет максимум, то соответствующее равновесие устойчиво. Примем это положение О за начало и предположим, что функция обращается в нуль в точке О, что всегда возможно, так как эта функция определяется с точностью до аддитивной постоянной, которою всегда можно распорядиться так, чтобы функция обращалась в нуль в заданной точке. Чтобы точнее уяснить понятие максимума, опишем вокруг точки О выпуклую поверхность например, сферу или куб с центром О, размеры которых достаточно малы для того, чтобы внутри поверхности и на ней самой функция была отрицательна и, за исключением начала О, отлична от нуля.

Выбрав поверхность сколь угодно малой, покажем, что существуют два положительных числа обладающих следующими свойствами: поместив движущуюся точку в начальном положении на расстоянии от О, меньшем чем и сообщив ей начальную скорость, меныиую чем мы получим такое движение точки, при котором эта движущаяся точка останется внутри поверхности . В самом деле, функция на поверхности отрицательна и отлична от нуля; следовательно, можно указать достаточно малое положительное число такое, что на поверхности постоянно будет

Поместим теперь точку М в начальное положение внутри поверхности и сообщим ей начальную скорость Для движения, которое точка начнет совершать, на основании теоремы кинетической энергии будет

где есть значение функции в точке причем отрицательное. Определим начальное положение и скорость условием

для чего достаточно, например, принять

Первое из этих неравенств определяет для верхний предел и, равный далее, так как функция непрерывна и обращается в нуль в начале, то существует такое достаточно малое положительное число что если расстояние меньше чем то будет меньше чем Тогда, придавая движущейся точке начальное положение, находящееся от точки О на расстоянии, меньшем чем и сообщая ей начальную скорость, меньшую чем мы удовлетворим неравенству (2) и вследствие этого, на основании теоремы кинетической энергии (1), удовлетворим также неравенству

которое показывает, что движущаяся точка не может выйти за поверхность . В самом деле, если точка достигнет поверхности то станет отрицательным и кинетическая энергия, являющаяся существенно положительной величиной, станет меньше отрицательной величины, что является абсурдом. Теорема таким образом доказана. Например, если точка притягивается центром О пропорционально расстоянию, то О является положением устойчивого равновесия

В полученном движении можно указать верхний предел для скорости, так как поскольку отрицательно, то по формуле меньше чем меньше чем .

Обратное предложение. Вероятно, что обратное предложение также справедливо. Если в точке, представляющей изолированное положение равновесия, производные обращаются в нуль, но функция не имеет максимума, то соответствующее равновесие будет неустойчивым. Это предложение для широкого класса случаев доказано Ляпуновым (Journal de Math6matiques, т. Ill, 1897, стр. 81) и Адамаром (там же, стр. 364). Но если рассматриваемое положение равновесия не является изолированным, то может случиться, что равновесие будет устойчивым, но функция не будет максимумом. Это показал Пенлеве (Comptes Rendus, т. 12, 1904), который привел пример:

В этом примере начало координат является положением устойчивого равновесия, но функция не имеет максимума.

Примечание. Когда для точки, находящейся под действием силы, не имеющей силовой функции, имеется некоторое положение равновесия, то для того, чтобы узнать, устойчиво оно или нет, надо исследовать движение, которое получит эта точка, если ее удалить на бесконечно малое расстояние от положения равновесия и сообщить ей бесконечно малую скорость.