91. Точка, движущаяся без трения по неподвижной поверхности.

Пусть дана неподвижная поверхность (рис. 65) и на ней точка М, находящаяся под действием заданных сил, равнодействующая которых равна Для того чтобы точка находилась в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы эта равнодействующая если она отлична от нуля, была нормальна к поверхности. В самом деле, если сила не нормальна к поверхности, то ее можно разложить на две силы, из которых одна направлена по нормали и прижимает точку к поверхности, а другая лежит в касательной плоскости и заставляет точку скользить по поверхности.

Рис. 65.

Равновесия, следовательно, не будет. Если в каком-нибудь положении М сила нормальна, то равновесие будет иметь место при условии, что точка не может покинуть поверхность ни в ту, ни в другую сторону. Это — случай, наиболее часто встречающийся. Но если точка просто положена на поверхность, как какой-нибудь предмет положен на стол, то для равновесия недостаточно, чтобы сила была направлена по нормали; сила должна быть направлена еще в такую сторону, чтобы она прижимала точку к поверхности.

Если точка может скользить по поверхности без трения, то действие поверхности на точку выражается силой, которая не может оказывать никакого сопротивления скольжению, т. е. не может иметь никакой касательной составляющей. Эта сила, следовательно, нормальна к поверхности; она называется нормальной реакцией. Когда точка находится в равновесии, нормальная реакция равна и противоположна силе По закону равенства действия и противодействия

точка М оказывает на поверхность действие, равное и противоположное которое называется давлением точки на поверхность. Выразим все эти результаты аналитически. Пусть

- уравнение поверхности в прямоугольных координатах и X, Y, Z — проекции силы Проекциями нормальной реакции являются величины, пропорциональные направляющим косинусам нормали к поверхности, т. е. величины вида

Так как должно иметь место равновесие между этой реакцией и силой то должны выполняться условия

которые совместно с уравнением поверхности составляют систему четырех уравнений для определения х, у, z и X. Пусть М — точка поверхности, координаты которой удовлетворяют этим уравнениям. Если материальная точка не может покинуть поверхность ни с одной, ни с другой стороны, то в этой точке будет равновесие. В противном случае необходимо приписать коэффициенту X определенный знак. Допустим, например, что точка может покинуть поверхность в ту сторону, где функция становится положительной. Тогда необходимо, чтобы сила была направлена в сторону, где функция отрицательна. Реакция будет направлена в противоположную сторону. Но вектор с проекциями

направлен относительно поверхности в ту ее сторону, где функция положительна, что вытекает из таких же соображений, какие были сделаны в п. 83 относительно поверхностей уровня, если их применить к поверхностям Так как реакция должна быть направлена в ту же сторону, то X должно быть положительно.

В случае, когда точка не может оставить поверхность, вычисления могут быть упрощены следующим образом. Выразим прежде всего координаты точки поверхности в функции двух параметров Пусть, например,

Для того чтобы имело место равновесие, необходимо и достаточно, чтобы сила была перпендикулярна к поверхности, т. е. к каждой из двух кривых, которые получатся, если положить последовательно

сначала а затем Следовательно, уравнения задачи будут

Величины x, у, z, которые зависят от положения точки М, будут функциями от и полученные уравнения относительно определяют значения параметров для положений равновесия. Интересен случай, когда выражение

— левые части написанных выше уравнений, есть полный дифференциал некоторой функции Тогда для нахождения равновесия нужно будет приравнять нулю частные производные функции т. е. искать максимум и минимум этой функции двух независимых переменных Для этой функции можно написать

где во второй части все величины должны быть выражены через . В частном случае, когда сила имеет потенциал, будет иметь место равенство

при любых x, у, z, и функция будет существовать. Она получится из после замены координат их выражениями в функции Поверхность уровня, проходящая через положение равновесия будет в общем случае касаться в этой точке заданной поверхности так как сила в точке одновременно нормальна и к поверхности уровня, и к поверхности

Мы покажем в динамике, что если в каком-нибудь положении движущейся точки функция действительно имеет максимум то соответствующее положение равновесия устойчиво. Так же, как и для рассмотренного выше случая свободной точки, в этом можно отдать себе отчет, исследуя вид кривых на заданной поверхности определяемых уравнениями