200. Естественные уравнения (Эйлер).

Возьмем на траектории начало О дуг. Движение по этой кривой определено, если дуга является известной функцией времени. Проведем касательную в сторону положительных дуг (рис. 128). Условимся считать скорость положительной, если движение происходит в сторону и отрицательной, если оно происходит в обратную сторону. Тогда скорость по величине и знаку будет

Рис. 128.

Пусть — ускорение движущейся точки. Как известно, его проекции на касательную и главную нормаль выражаются соответственно формулами (п. 41):

а проекция на бинормаль равна нулю. Так как вектор силы равен вектору ускорения, умноженному на массу, то обозначая через проекции силы на касательную, главную нормаль и бинормаль, получим:

Эти три уравнения образуют систему, эквивалентную трем уравнениям движения. Так как всегда положительно, всегда равно нулю, то сила всегда лежит в соприкасающейся плоскости траектории и направлена в сторону вогнутости последней.

Если сила все время нормальна к траектории, то скорость постоянна и сила обратно пропорциональна радиусу кривизны.

Если сила все время касательна к траектории, то и так как не равно нулю, то равно бесконечности, т. е. траектория есть прямая линия.

Можно установить отмеченные уже Маклоренбм интересные аналогии между этими уравнениями и уравнениями равновесия нити. Мёбиус указал большое число таких аналогий в своей Статике, так же как и Оссиан Бонне в томе IX Journal de Math?matiques и П. Серре в своей ТЬёопе nouvelle des lignes a double courbure (Mallet-Bachelier, 1860). (См. упражнения.)

Мы переходим теперь к выводу теорем, позволяющих во многих случаях найти первые интегралы.