205. Теорема кинетической энергии.

Возьмем уравнения движения

и сложим их почленно, умножив предварительно первое уравнение

на второе на и третье на dz. Получим

Замечая, что квадрат скорости равен

можно это уравнение написать следующим образом:

Произведение половины массы на квадрат скорости называется кинетической энергией. Предыдущее уравнение может быть поэтому выражено следующим образом:

Дифференциал кинетической энергии за промежуток времени равен элементарной работе равнодействующей сил, действующих на точку, за тот же промежуток времени. Действительно, правая часть

уравнения является элементарной работой силы X, Y, Z на действительном перемещении которое совершает точка за промежуток времени Работу равнодействующей X, Y, Z можно, как мы видели (п. 77), заменить суммой работ отдельных сил, приложенных к движущейся точке.

Уравнение (1) вытекает также сразу из первого из естественных уравнений движения

Умножая на и заменяя через V, получим уравнение

в котором правая часть равна элементарной работе силы на перемещении

Если уравнение (1) проинтегрировать от момента до момента то, обозначая через скорость в момент получим

что выражает следующую теорему:

Изменение кинетической энергии точки за произвольный промежуток времени равно полной работе сил, приложенных к точке, за тот же промежуток времени.

С точки зрения оценки полной работы следует, как мы показали в главе IV, различать три случая:

1°. В наиболее общем случае, когда X, Y, Z зависят от для вычисления полной работы надо знать выражения координат х, у, z в функции т. е. надо знать движение.

2°. В случае, когда X, Y, Z зависят только от для вычисления полной работы достаточно знать траекторию движущейся точки между положением которое она занимает в момент и положением М. занимаемым в момент

3°. Наконец, если равнодействующая X, Y, Z зависит только от положения движущейся точки и имеет силовую функцию

то можно вычислить полную работу, зная только положения . В этом случае теорема кинетической энергии приводит к первому интегралу. Действительно, выполняя интегрирование в правой части уравнения (2), получим

или

где обозначает произвольную постоянную эта постоянная называется постоянной кинетической энергии. Согласно этому уравнению скорость движущейся точки становится тою же самою, что и раньше, каждый раз, когда функция принимает прежнее значение. Если является однозначной функцией от то можно говорить, что скорость движущейся точки принимает одинаковые значения, когда она возвращается на одну и ту же поверхность уровня Когда функция многозначна, как, например, то скорость не обязательно принимает одинаковые значения, когда точка возвращается на одну и ту же поверхность уровня, так как на определенной поверхности уровня функция а вследствие этого и полная работа принимают различные значения вдоль пути (см. ).