III. Общие условия равновесия, выводимые из принципа возможных скоростей
170. Основное уравнение статики.
Мы будем следовать методу, указанному Лагранжем. Пусть задана система, образованная 
точками
и подчиненная связям, выражаемым такими равенствами, какие рассматривались в предыдущем..
Обозначим через 
равнодействующую заданных сил, действующих на точку 
На основании принципа возможных скоростей составляем уравнение
которое должно удовлетворяться для всех перемещений 
допускаемых связями. Можно сказать, что это уравнение является общим уравнением статики.
171. Приведение уравнений равновесия к наименьшему числу.
В каждой частной системе для получения наиболее общего возможного перемещения, допускаемого связями, необходимо и достаточно
сообщить 
параметрам 
произвольные вариации 
Тогда говорят, что рассматриваемая система имеет к степеней свободы.
Например, для получения наиболее общего перемещения точки по поверхности (п. 159) необходимо и достаточно сообщить двум параметрам произвольные вариации 
; следовательно, точка на поверхности является системой с двумя степенями свободы.
Для получения наиболее общего перемещения свободного твердого тела достаточно сообщить ему три произвольных бесконечно малых поступательных перемещения, параллельных трем осям координат, и повернуть его на три произвольных бесконечно малых угла вокруг этих трех осей. Следовательно, свободное твердое тело является системой с шестью степенями свободы.
Возьмем еще систему, образованную твердой материальной окружностью, которая катится без скольжения по неподвижной плоскости Р (обруч). Для выражения связи нужно написать, что скорость материальной точки, находящейся в соприкосновении, равна нулю. Следовательно, для того чтобы сообщить обручу перемещение, допускаемое связью, необходимо и достаточно сообщить ему вращение на бесконечно малый угол вокруг произвольной оси, проходящей через точку касания. Но это элементарное вращение может быть всегда разложено на три: одно 
вокруг нормали к неподвижной плоскости в точке касания А, другое 
вокруг касательной к обручу в точке А, и третье 
вокруг нормали к обручу, проведенной в точке А в неподвижной плоскости. Следовательно, обруч образует систему с тремя степенями свободы.
Вернемся к общему случаю системы с 
степенями свободы. Так как, по предположению, перемещение системы определяется бесконечно малыми вариациями 
то вариации 
координат различных точек системы будут определенными, если известны 
Для этих вариаций должны иметь место выражения вида
Если внести эти выражения в основное уравнение статики
то оно примет вид
в котором
Так как уравнение (3) должно выполняться при любых 
то должно быть одновременно
Таким образом, получились к необходимых и достаточных уравнений равновесия. Число этих уравнений в точности равно числу степеней свободы системы.
