302. Параболическое движение тяжелой точки в пустоте.

Примем, как и в п. 217, горизонтальную ось в плоскости траектории за ось направленную вверх вертикаль — за ось и введем декартовы координаты . Полагая найдем и уравнение, определяющее функцию напишется так:

Так как х не входит в коэффициенты, то существует решение вида

Действительно, подставляя это выражение для в уравнение, получим

откуда, разрешая относительно и интегрируя по у для нахождения , получаем решение

Уравнение траектории будет тогда

и время можно определить из формулы

Выполняя квадратуру, получим уравнение

Возводя это уравнение в квадрат, представим его в виде трехчлена второй степени относительно х, из которого можно определить у. Таким образом, мы непосредственно убеждаемся, что траектория (1) является действительно параболой с вертикальной осью. Что касается уравнения, определяющего то, исключив интеграл из равенств (1) и (2), мы можем написать его в виде

Это уравнение выражает, что горизонтальная проекция точки совершает равномерное движение. Кроме того, уравнения данном случае будут

Траектории, соответствующие изменению аполучаются одна из другой поступательным перемещением, параллельным оси Все эти параболы

касаются прямой с ординатой являющейся геометрическим местом их вершин. Кривые суть полукубические параболы (рис. 176)

получаемые все из одной поступательным перемещением, параллельным оси Все эти полукубические параболы нормальны к прямой с ординатой и эти прямые являются геометрическим местом их точек возврата.

Рис. 176.

Они ортогональны к предыдущим параболам на основании теоремы п. 301.