42. Касательное и нормальное ускорения (Гюйгенс).

Рассмотрим какое-нибудь движение, заданное геометрически траекторией к выражением дуги или в функции времени, причем отсчет на этой дуге принимается положительным в каком-нибудь определенном направлении

Рис. 34.

Пусть — направляющие косинусы (относительно прямоугольных осей) касательной к траектории, проведенной в сторону положительного отсчета а — направляющие косинусы главной нормали, которая считается положительной от М к центру С главной кривизны. Пусть, наконец, есть радиус главной кривизны траектории.

По известным формулам Серое—Френе имеем

Далее, очевидно,

Дифференцируя еще раз по времени и замечая, что

получим для проекций ускорения

Эти формулы легко интерпретируются. Отложим на касательной, принимая за положительное направление, отрезок алгебраическое значение которого равно на нормали отрезок равный Тогда формулы показывают, что проекции ускорения на каждую из трех осей равны суммам проекций геометрических величин Следовательно, в пространстве ускорение есть результирующая величин которые называются касательным и нормальным ускорениями. Проекция

ускорения на касательную после замены через напишется так:

Проекция на нормаль всегда положительна:

Ускорение расположено, следовательно, в соприкасающейся плоскости и направлено в сторону вогнутости траектории.

Примеры. 1°. Если движение прямолинейно, то равно бесконечности и нормальная составляющая обращается в нуль. Ускорение совпадает тогда с касательной составляющей. Наоборот, если нормальное ускорение везде нуль, то обращается в бесконечность и траектория есть прямая линия.

2°. Если скорость постоянна по величине, т. е. если криволинейное движение является равномерным, то касательное ускорение равно нулю. Тогда ускорение направлено по главной нормали и изменяется обратно пропорционально радиусу кривизны. Так, если точка описывает окружность радиуса с постоянной по величине скоростью то касательное ускорение равно нулю; ускорение будет нормальным и равным т. е. постоянным по величине и направленным по радиусу. Наоборот, если в каком-нибудь движении касательное ускорение все время нуль, то скорость будет постоянной по величине и движение будет равномерным.

Применение векторных производных. Можно говорить, что вектор скорости движущейся точки М есть векторная производная по времени вектора соединяющего неподвижную точку О с точкой М. Это вытекает из самого определения скорости.

Вектор ускорения геометрически равен производной вектора имеющего начало в неподвижной точке А и геометрически равного вектору скорости. Это вытекает из определения ускорения при помощи годографа.